微分方程数值解.doc

1.在给定等距剖分:，步长为的情况下,利用定义讨论“改进Euler法”

的相容性、稳定性和收敛性!
解：(1)相容性：
其中设算子……(1)
那么并结合改进的Euler法有：，将其代入(1)得:

根据Taylor泰勒展开

其LMS相容性得证
(2)稳定性：
根据课本page17引理2，对于改进的欧拉法：
的解为，满足条件且为单根，即满足根条件，故由page19中的结论可知：该算法LMS数值稳定。
(3)收敛性：
根据page23页结论,LMS法数值稳定且相容，则LMS方法是收敛的。

2.利用古典显式格式,即：

计算如下偏微分方程定解问题：

取：

解：由题意知，代入差分格式得：

显然地
,其中表示坐标为点处的u的值

3.求常微分方程两点边值问题(第三题的结果不能保证正确，但是步骤过程是这样的)

的有限元方程,其中选定剖分为：
解：该方程和page87标准方程相对比得出：

代入page95公式：
-5/12
=7/12
=-1/4
=-13/12
=7/4
=-11/12
=-7/4
=31/12
=31/12
=1/2
=1/2

划去的首行首列和最后一行与最后一列得到：

求解得：
因此该方程的有限元方程是：

4.简答题见书后习题

西北农林科技大学
信计101班