用极限定义证明极限的几种方法.pdf

2002年4月
第22卷第2期湖北农学院学报
ADr．2002
Vol_22No．2JournalofHubeiAgricultural-College

文章编号：1004—3888(2002)02—0170-03

用极限定义证明极限的几种方法’

郏文杰
(湖北民族学院预科部．瑚北恩施445000)

摘要：在微积分中，极限是最重要的概念之一，而且微分、积分、级数等概念都是由极限来
定义的。因此，掌握好用极限定义证明部分极限问题的方法大有必要，从极限定义证明极限的
方法的特点加以分析，可归纳总结出放大法、乘方法、取点法、夹逼法和反证法等5种方法。
关键词：极限；定义；证明方法
中图分类号：0172文献标识码：A

6<⋯⋯<E的形式，然后在放大化筒的不等式的
1极限的定义基础上再讨论极限证明问题。此类方法主要取决
定义1：设{_)f．)是一个数列，A是一个确定于绝对值不等式放大的程度，放大放小都不易得
的数，若对任给的正数e．总存在某一个自然数出结果，只有适度放大才能使解题化繁为筒。在
N，使得当n>N时．都有I．—AI<￡，则称数列各类型的极限证明中此类方法较常见。
{X)收敛于A．A称为它的极限。并记作limX
t∞例l证明lim~-=l，其中“>1
n∞

一A．
证：令a÷一l=a，则a>0．由伯努利不等式推
定义2：设，()为定义在(一。。，+。。)上的
得
函数，A是一个定数，若对任给正数e，总存在正
Ⅱ=(1+n)≥l+一l+(Ⅱ一1)或
数_)f．使得适台IXI>_)f的一切X对应的函数值
÷一l<a-1
，()恒有不等式I，()一Al<E，成立则常数A口
就叫函数Y一，()，当一。。时的极限，记作limf
⋯对VE>O，总]～(取N-E"-13)
，则当n>
()一AE

定义3：设，()在点xo的某个空心领域内N时．就有a一l<e，即I“÷一lI<e
有定义，如果VE>O，总存在>0，对于遥台不等
．lim~-=1(a>1)
式0<I一如<的一切所对应的函数值恒∞
2．2乘方法
有不等式If(x)一AI<E成立，则常数A就叫做
乘方法主要是针对带根号的函数极限证明问
函数一，)，当—。时的极限，记作limf(x)
’题，并且其中变量一般是趋近于0，对于此类极
一A
限问题首先必须将函数中根号通过乘方去掉，然
2用极限定义证明极限问题的方法后再按极限定义证明的方法讨论该极限问题。
例2证明lim~-=o
2、l放大法0
放大法是将定义中的绝对值不等式证明：对Va>o，要使
I_)f一Af<e或I，()一AI<E适当放大，转化为I拓一0}=l扛l<e成立，只需
I_)f一AI<m<n<⋯⋯<E或lf(x)一AI<d<IXI=I—oI<e

·收稿日期：2001—12—17
作者简介：郑文杰(197q一)，男．瑚北成宁市人，湖北民族学院预科部讲师

第2期郑文杰：用极限定义证明极限的几种方法l7l

取—e，当0<Iz一0I<=e时，则证明：当>1时，>1，记n一=1+h
10E一0l<e成立。(^>0)，则有

．1im~x一0
一0n=(1+^)一1+n^+兰；^三+
2．3取点法

⋯⋯+^：≥丛兰：；
取点法一般先在变量z的变化范围内先取
定一个或几个不同的值，再在取定的值的范围内
讨论该极限问题，然后将所得结果和原先取定的0≤k≤√
z的变化范围相比较，最后取z的最大值或最小
值而得到所要证明的结果。于是有l≤n=1+k≤l+√
例3求证limz=4
证：因为z一一2．所以不妨设Iz一(-2)l—下证(1十√)=1
Iz+2I<1．从而有Iz一2I<5VE>0，要使
于是l一4I=I．r一2】·Iz+2I<5
Iz+2I<el-恬一-l=l<s
因此，VE>0，要使j一41<e，只要即>+1
Ix+2I<，又Ix+2I<1
取N=[+11，当>N时，就有
即只要取$=min{l，J}
当o<lz+2l<8时，l一4l<e成立，故I-一-{<e成立

lira一4，●
一2^+√高
注：在此题中，先取定lz+2I<1，其实已取
定了z的某一个变化范围，在这个范围内先讨论再由夹逼定理，可得
该极限的证明问题，然后将所得结果和原先取定lim~-一1
的z变化范围(即Iz+2f<1)相比较，取最小值2．5反证法
则该极限问题得证。反正法主要是为了解决数列不收敛——即发
e．4夹逼法散的问题，但它的根本方法也是利用极限定义，掌
夹逼法通常是将要证明的极限问题构造成夹握好此类方法，不仅对初学者学好极限大有益处，
逼不等式的形式，然后利用已证明的极限和夹逼而且从另一个侧面也加深了我们对极限定义的认
定理来得到所要证明的结果。识和理解。
定理(夹逼定理)若在o<Iz—z。I<y内例5数列不能收