极限 定义证明.docx

极限定义证明极限定义证明证明，释义是指根据确实的材料判明人或事物的真实性。以下是小编收集整理的极限定义证明，仅供参考，大家一起来看看吧。极限定义证明趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2这两个用函数极限定义怎么证明?x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式|sinx/√x-0|=|sinx/√x|<ξ成立，只需要|sinx/√x|^2<ξ^2，即sinx^2/x<ξ^2(∵x→+∞)，则x>sinx^2/ξ^2，∵|sinx|≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，所以取X=1/ξ^2，当x>X时，必有|sinx/√x-0|<ξ成立，同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0.x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|<ξ成立，只需要0<|x+1/2|<ξ/2成立.所以取δ=ξ/2，则当0<|x+1/2|<δ时，必有|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|<ξ，由函数极限的定义可得x→-1/2时，1-4x^2/2x+1的极限为2.注意，用定义证明X走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面X减去的那个X0.记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趋于正无穷;下面证明limg(x)=max{a1，...am}，x趋于正无穷。把max{a1，...am}记作a。不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0，M>1;那么存在N1，当x>N1，有a/M<=f1(x)注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0<=f2(x)同理，存在Ni，当x>Ni时，0<=fi(x)取N=max{N1，N2...Nm};那么当x>N，有(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/M<=[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)对n取极限，所以a/M<=g(x)N时成立;令x趋于正无穷，a/M<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=b;注意这个式子对任意M>1，b>a都成立，中间两个极限都是固定的数。令M趋于正无穷，b趋于a;有a<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=a;这表明limg(x)=a;证毕;证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。还有个看起来简单些的方法记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趋于正无穷;g(x)=max{f1(x)，....fm(x)};然后求极限就能得到limg(x)=max{a1，...am}。其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。有种简单点的方法，就是max{a，b}=|a+b|/2+|a-b|/2从而为简单代数式。多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，故极限可以放进去。2一)时函数的极限：以时和为例引入。介绍符号:的意义，的直观意义。定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数。然后用这些邻域语言介绍几何意义。例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入。定义函数极限的“”定义。几何意义.用定义验证函数极限的基本思路。例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是，倘限制，就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法。几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义。例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有:例10证明:极限不存在。例11设函数在点的某邻域内单调。若存在，则有=§2函数极限的'性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限:，以下以极限为例讨论性质。均给出证明或简证。二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出。1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):Th4若和都存在，且存在点的空心邻域，使，都有证设=(现证对有)註:若在Th4的条件中，改“”为“”，未必就有以举例说明。5.迫敛性:6.四则