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1958年1月数学问题

k3
1、设，n，k，a+1为三个正整数，不全为奇数。试将ain表成
i0

二整数的平方差。

解：我们有

k2
3k1
3123annkain
i02
2
2kkkna112k1
a3
22
k11nakna
kn1ak
2222

令第一因子为p-q。第二因子为p+q，得

111kaankn1
p
2222
1kaankn1
q
2222
因为，n，k，a+1不全为奇数，可知p和q为整数，而

k3
qpain22
i0
cba
2.设a，b，c为三角形的三边，S22,abS。
2
试证：（1）S＜2a，S＜2b；（2）a＞c，b＞c。

证（1）因为a，b，c为三角形三边，故a+c＞b，由此可知

2S＞2b，即S＞b，因此S2＞Sb，即2ab＞Sb，故2a＞S；同理可得

2b＞S。

（2）由2a＞S及a+c＞b，我们有
bbcba
2a＞＞b
22
因此（2a-b）2＞0，两端加上8ab有（2a+b）2＞8ab。
而8ab=4S2=（a+b+c）2，于是（2ab)2＞(abc)2

故得2ab＞abc，即a＞c，同理可得b＞c。