第7讲指数与指数函数.doc

程桥高级中学2013届高三数学复习学案

第7讲指数与指数函数
一、复习目标：
理解有理数指数幂的含义；了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算。
理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数函数的图象。
了解指数函数模型的实际案例，会用指数函数模型解决简单的实际问题。
二、基础梳理：
1、根式
(1)根式的概念
如果一个数的n次方等于a(n＞1且，n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若，则x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做，a叫做．
(2)根式的性质
①当n为奇数时，正数的n次方根是，负数的n次方根是，这时，a的n次方根用符号表示．
②当n为偶数时，正数的n次方根有，它们互为，这时，正数的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示．
③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)))n＝.
④当n为奇数时，eq\r(n,an)＝；
当n为偶数时，eq\r(n,an)＝＝.
⑤负数偶次方根．（填“有”或“没有”）
2、有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正整数指数幂：an＝；
②零指数幂：a0＝(a≠0)；
③负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)；
④正分数指数幂：＝(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)；
⑤负分数指数幂：＝＝(a＞0，m、n∈N*且n＞1)．
⑥0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂．
(2)有理数指数幂的性质
①(a＞0，r、s∈Q)
②(a＞0，r、s∈Q)
③(a＞0，b＞0，r∈Q)．
3、指数函数的图象与性质
y＝axa＞10＜a＜1图象定义域值域性质4、一个关系
分数指数幂与根式的关系
根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．
5、两个防范
(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．
(2)换元时注意换元后“新元”的范围．
6、三个关键点
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).
三、双基自测
1、若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则taneq\f(aπ,6)的值为．
2、函数f(x)＝2|x－1|的图象是．

3、若函数f(x)＝eq\f(1,2x＋1)，则该函数在(－∞，＋∞)上是．
A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
4、已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))log30.3，则a，b，c的从大到小的关系是．
5、已知，则＝______；＝________.
四、考点探究：
考点一、指数幂的化简与求值
例1、化简下列各式(其中各字母均为正数)．
(1)；
(2).

练习1、计算：
(1)；(2)
方法总结：

考点二、指数函数的性质
例2、已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))·x3(a＞0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；
(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．

方法总结：
练习2、设f(x)＝eq\f(e－x,a)＋eq\f(a,e－x)是定义在R上的函数．(1)f(x)可能是奇函数吗？
(2)若f(x)是偶函数，试研究其在(0，＋∞)的单调性．
考点三、指数函数图象的应用
例3、函数y＝eq\f(ex＋e－x,ex－e－x)的图象大致为()．

方法总结：

练习3、已知方程10x＝10－x，lgx＋x＝10的实数解分别为α和β，则α＋β的值是________．
难点突破3——如何求解新情景下指数函数的问题
高考中对指数函数的考查，往往突出新概念、新定义、新情景中的问题，题目除最基本问题外，注重考查一些小、巧、活的问题，突出考查思维能力和化归等数学思想．
一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法
示例1、设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内
有定义．对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，fx≥K，,K，fx＜K，))取函数f(x)＝2＋x＋e－x，若对任意的x∈(－∞，＋∞)，恒有fK(x)＝f(x)，则K的最大值为________．

二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法
示例2、若，，x∈R，且f(x)