复变函数与积分变换.ppt

复变函数与积分变换（B）联系方式2008年9月17日对象学习方法背景十九世纪奠定复变函数的理论基础
三位代表人物:
A.L.Cauchy（1789-1866)
K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数
G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函数的映照性质
通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用.

1.复数的概念

2.代数运算

3.共轭复数

一般,任意两个复数不能比较大小.定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)z1+z2=z2+z1；
z1z2=z2z1；
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；
z1(z2z3)=(z1z2)z3；
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
131.点的表示
2.向量表示法
3.三角表示法
4.指数表示法1.点的表示2.向量表示法辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，当z落于一,四象限时，不变.202122o24引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程
（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方
程（或不等式）来确定它所表示的平面图形.x27注意.复数的各种表示法可以相互转化,以适应
不同问题的需要.2008年9月24日3031321.复数的乘积与商
2.复数的乘幂
3.复数的方根定理1两个复数乘积的模等于它们的模相乘，
两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加.几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度
Argz2，再将其伸缩到|z2|倍.3637要使上式成立,必须且只需k=m+n+1.定理2两个复数的商的模等于它们的模的商，
两个复数的商的辐角等于被除数与除
数的辐角之差.设z=reiθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证
明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ.问题给定复数z=rei，求所有的满足ωn=z的
复数ω.当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，
而k取其它整数时，这些根又会重复出现.1.区域的概念
2.简单曲线（或Jordan曲线)
3.单连通域与多连通域1.区域的概念开集若G内的每一点都是
内点，则称G是开集.有界区域与无界区域
若存在R>0,对任意z∈D,均有
z∈G={z||z|<R}，则D是有界区域；否则无界.482.简单曲线（或Jardan曲线)重点设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b，
对于t1∈(a，b),t2∈[a,b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)，
称z(t1)为曲线C的重点.3.单连通域与多连通域例如|z|<R（R>0）是单连通的；
0≤r<|z|≤R是多连通的.作业54555657