Banach空间中一类Volterra-Fredholm型泛函积分微分方程.pdf

第l9卷第1期兰州工业高等专科学校学报V01．19No．1
2012年2月JournalofLanzhouPolytechnicCollegeFeb．2012

文章编号：1009—2269(2012)01—0049—03

Banach空间中一类Volterra-Fredholm型泛函积分微分方程

罗志敏，操闻一

(罗定职业技术学院教育系，广东罗定527200)

摘要：利用Darbo不动点定理和非紧性测度性质，讨论了一类Voherra-Fredholm型泛函积分微分方
程解的存在性．
关键词：积分微分方程；不动点定理；非紧测度
中图分类号：0175．29文献标志码：A

近年来，Volterra．Fredholm型积分微分方程在关的性质可参看文献[7]．
有界区间及无界区间上解的存在性及其它性态吸引理1l7(Darbo不动点定理)设l，为有
引了许多学者的关注，得到了大量结果，在这些研界闭凸集，算子F：l，一l，连续；若F是l，上的严格
究中，积分不等式、不动点与非紧性测度方法起到集压缩映射，则F在】，中有不动点．
了关键的作用，见参考文献[1～6]．本文主要讨论引理2l1设ccE是凸有界等度连续集，
如下形式
则cc也是凸有界等度连续集，这里为的
f(t)=g((6(t)))+t，(6：(t)))X
{lf闭包．
注文献[2]中没有“凸”条件，事实上凸集
l(，5)h(s，((s)))ds，∈[n，b](1)的闭包仍为凸，故引理2是成立的．
引理3E23若WcC是有界等度连续集，则
的Volterra—Fredholm型泛函积分微分方程初值问(())连续，((f))=]((￡)))，且

题解的存在性，不失一般性，在下面的讨论中取tt
a=0，b=1．我们建立了一类Banach空间，并给有(f(s)ds)≤J((s))，￡∈VO，1]，其中
出了一些不同于其它文献的条件，利用Darbo不动00
点定理与非紧性测度的性质得到了方程(1)解的(t)={(t)：∈)．
存在性定理，推广和改进了一些结果．2主要结果

1预备知识及引理在如下条件下考虑方程(1)：

设(E，lI·l1)为具有通常意义下范数的实(H。)：：[0，1]xC一R，g：[0，1]一R都是
Banach空间．令c为定义在区间[0，1]且取值于连续的．且存在，M2>0，有：
上的连续函数空间，则在范数IICE=supsup{llgII}≤M，sup{IIflIc}≤．
{l(t)j，t∈[0，1])下易验证c也为Banach空f，g满足局部Lipschitz条件．且存在，L：>0，V
间．记为c上的满足次可加性的非紧性测度．有t∈[0，1]，l，2∈CE，有lg(x1)一g(x2)l≤

收稿日期：2011—10-27
基金项目：广东省教育科研“十一五”规划项目(2010tjk337)
作者简介：罗志敏(1979．)，男，湖南桃源人，讲师，硕士．
·50·兰州工业高等专科学校学报第19卷

1JI一2l，】t，i)一_厂(t，2)J≤L2jI—2)．
JIg((，(s)))一g(y((s)))lds+
(H)：后：[0，1]×[0，1]一R是连续的．且存
在连续函数：[0，1]一R，和连续的非降函数：
Il，(赴(s)))一_厂(s，y(龟(s)))1×
[0，1]一R，使得l尼(t，s)l≤(t)／3(s)，t，5∈b
[0，1]．同时对于函数OL，存在M>0，有
{fI(s，r)h(r，(6(r)))ldr}ds+
溉{sM3·

(H，)：h：[0，1]XC一R是连续的．且存在连J．If(s，y(6(s)))Itflh(r，(6(r)))一
续的非降函数p：[0，1]一R，使得：Ih(s，)l≤h(r，y(。(r)))I1k(s，r)1dr}ds≤

p(s)If，∈[0，1]，∈C．一
yl+一ll×
(H)：6，：，，：[0，1]一[0，1]都是连续的．
且有6l(t)≤t，82(t)≤t，83(t)≤t，t∈[0，1]．{Jl(s)卢(r)Ilp(r)(6(r))ldrtds+
(H)：A=L。+M(1)P(1)<1成立．
定理1若上述条件(H)～(H)成立，则方fM。trip(r)⋯—ylll(s)口(r)Idrtds≤
程(1)在[0，1]上至少存在一个解(t)．
证明定义C上的算子F，且满足：
L1s+2JB(1)P(1)Il【Il(s)ds+
(Fx)(t)=。+Ig((6(s)))ds+
毛
1L3(1)p(1)J(s)ds≤[Ll+
白

乞s，(：(s))){f(s，r)h(r，(6(r)))dr}ds，2(1)P(1)RoM3+L3卢(1)P(1)M3]．(3)
由(3)可见，当一0时，l(Fx)(t)一
t∈[0，