数列练习三：由递推公式求通项公式.doc

数列练习三：由递推公式求通项公式（完整版）实用资料
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【题组三：由递推公式求通项公式】
8.（1）求；

（2）求；

（3）；求；

（4）已知（），求.

9.已知数列满足，，则=________

10.设是首项为1的正项数列，则它的通项公式_

11.已知数列的前项和满足，
（1）写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3；（2）求数列{an}的通项公式.

化归思想在递推数列通项公式中的应用
在高中数学中，解决数列问题常用的数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想，尤其是运用化归思想将问题转化为等差、等比数列问题来研究，是解答数列问题的最基本的思维方向。本文就教学中积累的运用化归思想求解递推数列通项公式做一总结，供参考。
运用化归思想求解递推数列的通项公式，其思路是通过恰当变换递推关系，将非等差非等比数列转化为特殊数列而求得其通项公式。
化归与转化的原则是：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的、易解的或已经解决的问题；将抽象的问题转化为具体的、直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的、特殊的问题，将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决。
转化与化归的基本类型主要有：已知与未知的转化；部分与整体的转化；具体与抽象的转化；特殊与一般的转化；不等与相等的转化；运动与静止的转化；分散与集中的转化；几何与代数的转化；陌生与熟悉的转化；高次与低次的转化；复杂与简单的转化；综合与基本的转化；顺向与逆向的转化；常规与技巧的转化；高维与低维的转化；正面与反面的转化
解题方法：
运用化归与转化思想解题的依据或步骤主要是要明确三个问题：（1）明确化归对象，即对什么问题转化，这是化归与转化思想的根基；（2）认清化归目标，即化归到何处去，这是化归与转化思想的目标；（3）把握化归方法，即如何进行化归，这是化归与转化思想的关键。
运用化归与转化思想解题的主要转化方法有：待定系数法、作差法、倒数法、取对数法、换元法、配凑法等。
一、一阶线性递推公式
此类数列解决的思路是，运用化归与转化思想将其转化为等比数列求解，具体转化途径是分离常数法或作差法。
例1、在数列的通项公式？
解法1：设
比较，得，所以有
为首项，为公比的等比数列

解法2：
两式相减得：
是以为首项，3为公比的等比数列
，由累加法得
点评：本例运用化归与转化思想，化一般为特殊，以化归为特殊数列为目标，通过分离常数法、作差法手段实现了化归目标。
二、一阶分式递推公式
此类数列解决的思路是，运用化归与转化思想将其转化为等差、等比数列求解，具体转化途径是取倒数法。
例2、已知在各项不为零的数列中，，求数列的通项公式？
解：，两边取倒数得
，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，则，
例3、已知数列满足，求的通项公式？
解：两边取倒数得：
是以为首项，2为公比的等比数列。
点评：上述两例运用化归与转化思想，以化归为等差数列、等比数列为目标，通过取倒数手段实现了化归目标。
三、一阶递推公式
（1）若，此类数列解决的思路是，运用化归与转化思想将其转化为一阶线性递推公式求解，具体转化途径是两边同除以得：，令，，则转化为一阶线性递推公式。
例4、已知数列满足，，求
解：由已知得
设，故有

是以为公比，为首项的等比数列

点评：本例中运用化归转化思想，通过换元法手段将一阶递推公式转化为一阶线性递推公式求解。
四、二阶线性递推公式
此类数列解决的思路是，运用化归与转化思想将其转化为等比数列求解，具体转化途径是运用待定系数法进行转化。
例5、数列，且，求数列的通项公式？
解：设
比较得：或
或
是以为首项，为公比的等比数列或数列
是以为首项，1为公比的等比数列
或
易得：，由适合
所以
递推数列通项求解方法举隅
类型一：（）
思路1（递推法）：
………。
思路2（构造法）：设，即得，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。
例1已知数列满足且，求数列的通项公式。
解：方法1（递推法）：………。
方法2（构造法）：设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。
类型二：
思路1（递推法）：…。
思路2（叠加法）：，依次类推有：、、…、，将各式叠加并整理得，即。
例2已知，，求。
解：方法1（递推法）：
………。
方法2（叠加法）：，依次类推有：、、…、，将各式叠加并整理得，。
类型三：
思路1（递推法）：……。
思路2（叠乘法）：，依次类推有：、、…、，将各式叠乘并整理得…，即…。
例3已知，，求。
解：方法1（递推法）：…
。
方法2（叠乘法）：，依次类推有：、、…、、，将各式叠乘并整理得…，即…。
类型四：
思路（特征根法）：为了方便，我们先假定、。递推式对应的特征方程为，当特征方