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由数列递推公式求通项公式通法

已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。
一、型数列，（其中不是常值函数)
此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为，从而就有

将上述个式子累加，变成，进而求解。
例1.在数列中,
解：依题意有

逐项累加有，从而。
注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.
类似题型练习：已知满足，求的通项公式。
二、型数列，（其中不是常值函数)
此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为，从而就有

将上述个式子累乘，变成，进而求解。
例2.已知数列中，求数列的通项公式。
解：当时，将这个式子累乘，得到，从而，当时，，所以。
注：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.
类似题型练习：在数列中,>0,,求.
提示：依题意分解因式可得，而>0,所以，即。
三、型数列
此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设，展开整理，比较系数有，所以，所以是等比数列，公比为，首项为。二是用做差法直接构造，，，两式相减有，所以是公比为的等比数列。
例3.在数列中，，当时，有，求的通项公式。
解法1：设，即有，对比，得，于是得，数列是以为首项，以3为公比的等比数列，所以有。
解法2：由已知递推式，得，上述两式相减，得，因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列。所以，即，所以。
类似题型练习：已知数列满足求数列的通项公式.
注：根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式.
四．型数列（p为常数）
此类数列可变形为，则可用累加法求出，由此求得.
例4已知数列满足,求.
解:将已知递推式两边同除以得,设,故有，,从而.
注：通过变形,构造辅助数列,转化为基本数列的问题,是我们求解陌生的递推关系式的常用方法.
若为的一次函数,则加上关于的一次函数构成一个等比数列;若为的二次函数,则加上关于的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.
例5．已知数列满足
解:作,则,代入已知递推式中得:.
令
这时且
显然,,所以.
注：通过引入一些待定系数来转化命题结构,经过变形和比较,把问题转化成基本数列,从而使问题得以解决.

类似题型练习：
（1）已知满足，求。
（2）已知数列，表示其前项和，若满足，求数列的通项公式。
提示：（2）中利用，把已知条件转化成递推式。
五、型数列（为非零常数）
这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为型数列。
例6．已知数列满足,求.
解:两边取倒数得:,所以，故有。
类似题型练习：数列中，，求的通项。
六.型数列（为常数）
这种类型的做法是用待定糸数法设构造等比数列。
例5．数列中，且，求.
解法略。由数列递推公式求通项公式的求解策略
一般地，如果已知数列的第１项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．由递推公式给出的数列，称之为递推数列．等差、等比数列实际上就是最简单的递推数列．求递推数列的通项的方法较为灵活，本文归纳涉及递推数列的常用解题方法及技巧。
一、直接构成等差等比数列
例1．已知数列递推公式，求数列通项公式。

二、迭加法（或迭乘法）：当递推关系为时，要求通项公式时，我们常通过（或）的变形来求出，此方法叫迭加法（或迭乘法）

例题5：已知正数数列满足，求.
三、迭代法：当数列的递推关系为可以是常数，也可以是关于n的函数式），通过的一步步迭代可求出通项公式，具体做法为：

例6、已知数列的前n项和，满足
（1）写出数列的前三项（2）求数列的通项公式
四、用求解：数列的前n项和与的隐含关系为，利用这个关系揭示与的关系或与的关系，使数列化归为两个基本的数列求解
例7、为数列的前n项和，且，首项
（1）若，求证：数列为等比数列
（2）、设，求证：数列为等比数列
（3）、求数列的通项公式及前n项和公式
五、构造新的辅助等差等比数列求通项：当数列的递推关系为或或时，往往可以将其转化为一个新的等差数列或等比数列，然后再依次求出有关的通项公式。或待定系数法的渗透
对于形如、、（是常数）等递推式求通项类型的试题，在高考中出现的频率最高，在每年的各省市高考卷中都能找到其身影，而