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矩阵与变换
南京师范大学数学与计算机科学学院孙志人

矩阵是代数学的基本内容之一，变换是几何中的基本内容之一。对于中学数学教材改革来说，怎样把应用广泛的矩阵内容融入代数教材，以及如何进一步用变换的观念来处理几何教材，都是值得考虑和研究的课题。
本讲我们简单介绍一些关于矩阵与变换的知识，同时把两者结合起来，用矩阵表示变换，使矩阵得到一些应用，便于对变换作进一步的研究。不妥之处，敬请指正。
§１线性方程组与矩阵
矩阵是数学中的一个重要的概念，它是线性代数的主要研究对象之一，并且是解决许多工程问题的有力工具。下面结合熟知的线性方程组介绍什么是矩阵。
包含有n个未知数的p个线性方程所成的方程组，可以表示如下：
大量的或多或少有些实用的问题，都归结为两个未知数两个方程的问题，其中有一些已经在四千多年前的楔形文字的典籍中出现。上面的一般的线性方程组，特别是方程个数等于未知量个数的方程组，在各门应用数学中出现，并且在数值分析中起着重要的作用。它们在理论上也是重要的。大约在1840年，雅可比指出了：方程个数少于未知数个数的齐次线性方程组总有非平凡的解；在1750年，克拉默借助于行列式证明了，对于方程个数等于未知数个数的线性方程组，下列叙述等价：①秩等于未知数的个数，②不论右边为何数方程组总有解，③齐次方程组只有零解。秩的概念是克罗内克在1864年引进的。
现在，我们把上述方程组的每件外衣剥去，只考虑它的系数，得系数矩阵
这种具有p行n列的数的长方形阵列，称为型矩阵。我们可以把上述线性方程组表示为。
§2消元解法与初等变换
我们知道，在用消去法解线性方程组的过程中，常用下面两种变换以使方程组逐步简化：①用适当的数去乘某个方程的两边，然后把它加到另一个方程上；②用一个不等于0的数去乘某个方程的两边。这分别相当于对矩阵的行施行如下的变换：①消法变换——将矩阵某行的各元素的某个倍数加到另一行的相应元素上，②倍法变换——以不等于0的数去乘矩阵的某一行。此外，还可以施行③位置变换——将矩阵某两行的位置对调。矩阵的这三种变换统称为矩阵的初等变换。不难看出，用消元法解线性方程组的过程，可以对相应的矩阵施行初等变换来实现。
§3矩阵概念的提出
为了使大家对矩阵的概念和将要讨论的一些问题的背景有些了解，我们来介绍一些提出矩阵概念的问题。矩阵不仅可以用来表示方程组，还可以表示其他相关内容。
[例1]在解析几何中，平面直角坐标系的旋转公式是其中为x轴与x’轴的夹角。
新旧坐标之间的变换就可以用一个22矩阵来表示，这个矩阵表示平面上的一个坐标变换（坐标轴的旋转）。
[例2]含三个变量x,y,z的一个二次齐次函数（又称二次型）.
二次型可以用矩阵来表示，这里对应的二次型的矩阵是一个33矩阵。注意矩阵的元素。
有时，考虑二次曲线的一般方程，
其左端也可以用33矩阵表示。

[例3]某物资由p个产地运往n个销地。假设由第i个产地运往第j个销地的数量是，那么这样一个调运方案就可以用下面的pn矩阵来表示：.
[例4]熟知的向量是矩阵的特殊形式。
正如恩格斯指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上它起源于外部世界的事实。但是，为了能够从纯粹的状态中研究这些形式和关系，必须使它们完全脱离自己的内容，把内容作无关紧要的东西放在一边，…”。
§4矩阵的运算
矩阵运算可以看成是矩阵之间的一些最基本的关系，包含矩阵的加法、减法、乘法、矩阵的数乘、矩阵的转置以及矩阵的逆等。
矩阵的加减法
矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加。当然，相加的矩阵必须具有相同的行数与列数。不难验证矩阵加法具有下面的性质：结合律，交换律，零矩阵，负矩阵。因此，可以利用负矩阵定义减法（减法的三种定义：一仿加法，二用解矩阵方程，三用负矩阵）。
在例3中，物资调运可以用一个矩阵来表示，如果还要调运另一种物资，那么，还用一个矩阵来表示，总的运输量也可以表示为一个矩阵，显然这个矩阵就等于上面两个矩阵的和。再如，张王李刘四位同学的语文、数学、外语、物理、化学某次测验的成绩可用5个41矩阵来表示：那么，这四个学生这5门课程各自的总分可以用矩阵加法表示：。
数与矩阵的乘法
以一个数乘以矩阵的每一个元素所得的矩阵叫做数与矩阵的相乘的积。这样的定义可以从矩阵的加法中看出，考虑两个相同的矩阵相加、考虑三个相同的矩阵相加等等，类似于数的乘法的引入。不难验证，数与矩阵相乘满足如下性质：其中是数，是矩阵。
矩阵数乘的实际例子。甲乙丙丁四所学校到机场、码头、火车站的距离（单位：千米）可以用下列矩阵表示：，那么以米作为距离单位，就得。
三、矩阵的乘法
在给出矩阵乘法定义前，先给出引出矩阵乘法的问