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矩阵与变换
本章从变换和映射的观点，并以二阶矩阵为例，讨论了矩阵及其有关性质，主要有矩阵与向量的乘法、矩阵所表示的变换、矩阵的乘法及逆矩阵的意义、线性方程组的意义及求解、矩阵的特征值与特征向量等，以新的视角展示矩阵的一些应用。
第一节二阶矩阵与平面向量的乘法及其所表示的变换
1矩阵—一种特殊的映射（变换）
我们知道，矩阵是若干个数依一定的行列次序排列而成的一种数表结构，在《高等代数》里已学习过有关矩阵的知识和性质。实际上，从另一个角度看，矩阵也是一种特殊的映射或变换，这可以从矩阵与向量（列向量）的乘法运算，矩阵与矩阵的乘法运算及矩阵所满足的运算律和不满足的运算律等方面得到说明。
1．1矩阵与向量乘法的意义
设是一个二阶矩阵，列向量=，则
===
实际上，从变换的角度看，二阶矩阵与列向量相乘，最终结果仍然是平面上的列向量=，即矩阵将变换成一个新的向量。不仅如此，矩阵变换还可以把平面上的直线变成直线，即：。事实上，
设==则+=
又==
=
所以
1．2矩阵表示的变换
如果是一个从集合到集合的映射，通常记为：，读作“变换（或映射）到”或者“是到的变换(或映射)”。取一矩阵，如，这个矩阵可以理解为线性方程组的系数矩阵，换个角度看，就会发现：若是已知的，则这一对方程可以用来确定和这两个数，也即可以用这一对方程去定义一个变换，这一变换由表达式或者所确定，这个变换称为由矩阵所确定的线性变换（映射）。一般地说，对已给的22矩阵，可以定义由所确定的线性变换，它就是由表达式所确定的变换。
下面，我们看几个用矩阵所表示的常见线性变换。
1．恒等变换
例1设，则由所确定的线性变换为,这一变换由表达式给出。它表示的几何意义为：把中的每个向量（或向量表示的点）映射为自身，这样的矩阵所表示的变换为恒等变换，见图1。

图1

2．反射变换
例2设，则由所确定的线性变换为,这一变换由表达式即给出。几何意义是：把中的每个向量映射成与轴对称的向量（见图2），称为轴反射。

图2对于轴的反射图3对于直线的反射
例3设，由所确定的线性映射由表达式即给出，它的几何意义为把中的每个向量变成与直线对称的向量（如图3），称为关于轴反射。
像例2、例3这类矩阵所表示的变换我们称为反射变换。
3．伸压变换
例4设，由所确定的线性映射由表达式即给出，它的几何意义为把中的每个向量沿平行于轴方向压缩，如图4所示。

图4
一般的伸缩变换我们用矩阵来表示,其中。
4．水平推移变换
例5由矩阵所确定的线性变换：，其中是某个给定的实数，这个变换由表达式或表示。它的几何意义是把中的每一个点或该点的径向量水平推移了一段正比于的距离，当,点的径向量沿一个方向移动（如果向右移动，如果向左移动），反过来，当，点的径向量向相反方向移动（如图8），如果，则是恒等变换，注意在轴上的点在下是保持不变的，这个变换称之为水平推移变换。

图8水平推移
5．旋转变换
例6（平面旋转变换）考虑由矩阵所确定的线性变换，其中是任一角度，这个变换由表达式

表示，它的几何意义是把中的每一个点依逆时针方向绕原点旋转角。
如下图9所示（读者可以用三角知识自己证明）。

0

图9
例7（空间旋转变换）由矩阵所确定的线性变换为，这个变换由表达式

表示，它的几何意义是把中的每一个点绕轴旋转角。如图10所示：

图10绕轴旋转

同理可以得到绕轴和轴的变换分别是由矩阵
和确定的。
6．切变变换
例8设，由所确定的线性映射由表达式
，即给出。这个变换可把直线：变成直线：。如图11所示。

图11
通常把诸如、、、等形式的一类矩阵所表示的变换叫做切变变换。
7．投影变换
例9设，由所确定的线性映射由表达式
，即给出。这个变换可把直线：变成轴上的一个点。如图12所示。

图12
通常把诸如、、等形式的一类矩阵所表示的变换叫做投影变换。
第二节二阶矩阵的乘法——变换的复合
1矩阵乘法的意义
实际上，依我们在高等代数里所学的知识，若，则，其中，而且只有第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时，矩阵相乘才有意义，且矩阵的乘法满足结合律但不满足交换律等。但如果视矩阵为一种变换，则矩阵的乘法相当于变换的一种复合。下面以二阶方阵为例加以说明。
例1设，
则，这表明矩阵作为一种变换，它把向量所表示的点对轴作反射，即：
而=表示的几何意义为，旋转变换矩阵又将中的平面向量依逆时针方向旋转角得到向量，现在如何得到由向量到的线性变换呢？

即故所表示的几何意义为，反射变换矩阵先将向量所表示的点关于轴作反射后，再在旋转变换矩阵的作用下，将轴反射后所得向量再依逆时针方向旋转角后所得的向量，从这个意义上讲，实质上表示一种变换的复合，是一种先作轴反射