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第30卷第1期成都理工大学学报(自然科学版)Vol.30No.1
2003年2月JOURNALOFCHENGDUUNIVERSITYOFTECHNOLOGY(Science&TechnologyEdition)Feb.2003

[文章编号]167129727(2003)0120107204

矩阵光学中变换矩阵的推导

季光明,胡灿,李雪琴
(成都理工大学信息管理学院,成都610059)

[摘要]总结了5种推导光线变换矩阵的方法,并例举了大量实例,以供使用时参考。例如,光
在均匀介质中传输的光线变换矩阵,球面反射镜、失调望远镜、猫眼反射器和厚透镜等光学系
统的光线变换矩阵。在实际工作中,针对不同的情况,采用不同的方法能给推导带来方便。
[关键词]变换矩阵;矩阵光学;近轴近似
[分类号]O43;TH744[文献标识码]A

随着激光科学技术的发展,矩阵光学研究范线传播定律,可以找出入射光线与出射光线之间
围迅速扩大,并显示出它处理问题简明、规范和便的几何关系,从而确定光学系统的变换矩阵。
于计算机求解等优点。用矩阵方法研究光束的传实例分析1:光在均匀介质中的传播变换矩
输变换特别方便[1],[2]。众所周知,光学系统对光阵。
线或激光束的变换作用可由其变换矩阵表示。因设光线传播距离为l(如图1所示),在近轴近
此,光学系统对光线或激光束的变换矩阵对用矩似下:
阵方法研究光学问题是非常重要的。本文将总结r′=r+lH
(2)
五种变换矩阵的推导方法,并加以举例说明。H′=H
所以
推导方法
11l
M=(3)
本文采用文献[3]符号法则和有关规定,并限01
于讨论近轴近似条件下的轴对称光学系统。实例分析2:球面反射变换矩阵。
111几何光学基本定律法
近轴近似下,光线变换的基本方程为[4]:
r′ABr
=(1)
H′CDH
AB
式中,M=为光学系统的光线变换矩阵,
CD
rr′
和分别为入射和出射光矢量,H和H′分别
HH′
为入射和出射光线与传输Z轴的夹角,r和r′分

别为入射和出射光线与入射参考面(RP1)和出射
图1均匀介质中传输
参考面()的交点到轴的距离。
RP2ZFig.1Propagationthroughauniformmedium
根据光的反射、折射和在均匀介质中光的直

[收稿日期]2001206207
[作者简介]季光明(1957-),男,副教授,应用数学专业.(E2mail:[e-mail])
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·108·成都理工大学学报(自然科学版)第30卷

式中,C1和C2为任意常数。
近轴近似下,边界条件为:

r(z)ûz=0=r(0)
dr(z)(10)
ûz=0DH(0)
dz
将(10)式代入(9)式可得:
1
r(z)Dr(0)cosBz+H(0)sinBz
B
(11)
dr(z)
H(z)DD-Br(0)sinBz+H(0)cosBz
dz
图2球面反射
因此,
Fig.2Asphericalmirror
1
cosBzsinBz
B
如图2所示,设球面反射镜曲率半径为Q,在M=(12)
-sinzcosz
近轴近似下由光的反射定律可以得到:BBB
同理,可求出负类透镜介质()=0(1+
r′=rnrn
22)的变换矩阵为
2(4)Brö2
H′D-r+H
Q1
chBzshBz
故M=B(13)
10-BshBzchBz
定律法
M=2(5)113ABCD
-1
Q11K
用复参数=-i2描述的高斯光速的
同理,根据折射定律可求出球面折射的变换矩阵qRPX
传输满足ABCD定律:
为:
Aq+B
10q′=(14)
Cq+D
M=n2-n1n1(6)
式中A,B,C,D为变换矩阵M的诸元素。q和q′
n2Qn2
分别为光学系统变换前后的光束复参数。显然,当
式中n1和n2分别为球面左、右方介质的折射率。
光束的光斑半径X,X′→∞时,得到球面所满足的
112光线方程法
ABCD定律:
近轴近似下,光线方程为
AR+B
ddrR′=(15)
(n)=ýn(7)CR+D
dzdz
式中R和R′分别为光学系统变换前后的光束的
式中n为介质的折射率。
曲率半径。
光线方程描述了光线传播规律,由它可以计
实例分析4:薄透镜的变换矩阵。
算出光线在介质中的传播轨迹。因此,求解光线方
众所周知,薄透镜成像的高斯公式为:
程可得到光学系统的光线变换矩阵。
111
实例分析3:正类透镜介质n(r)=n0(1--=(16)
RR′f
22
r2)的变换矩阵(为大于零的常数,n0为轴
BöB式中f为薄透镜的焦距