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动量矩动量矩守恒进动-质点刚体质量转动质量速度角速度加速.pdf

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质点上节要点回顾刚体 m 质量Jz转动质量 r 速度vωr角速度 r 加速度arβ角加速度 rr力矩 力FM 牛顿运rd(Jω) rd(mv)rz转动定律 F==maMz==Jzβ 动定律dtdt 1 12E=Jω2 动能E=mvKz动能 K22 brb 动能定理A=F⋅dsr=∆E ∫KA=∫M⋅dθ=∆EK动能定理 aa §6.3刚体角动量刚体角动量角动量守恒定律角动量守恒定律 刚 体一.角动量(动量矩） 1.质点的角动量(对O点)r LO rrrrr 角LO=r×P=r×mvr 动r 量ϕrO SP 矢量v大小L=rpsinϕ=mrvsinϕ LOO v方向垂直于r和r所组成的平面 Lvr 质0指向可由右手螺旋法则确定 点 的 角rr 动力矩M=rr×F 量 对比rr 动量矩L=rr×P 2.刚体的角动量(对定轴)Z 刚 体 刚体上任一质点mi对Z轴的 角动量为mriiυi()ri⊥υi 方向沿Z轴，r Ori 角• 动则整个刚体对Z轴的角动量r vi 量∆mi 2 LZ=∑∆miviri=∑∆miriω=JZω ii 刚 体L=Jω 的ZZ 角 动 量 二.角动量定理 刚 体 1.质点的角动量定理 由质点角动量定义有 vvv 角LO=r×mv 动两边对时间求导 量vvvv 定dLOdrvvd(mv)vdr 理=×mv+r×又Qv= dtdtdtdt d(mvv) Fv= vdt 质dLorrr 点∴=r×F=M 角dt 动 量 定意义在惯性系中，质点所受的合外力矩等于 理 它的角动量矩对时间的变化率。 2.刚体绕定轴转动的角动量定理Z 刚 体 质点沿轴方向的合力矩r dLFi M+M=iz iFifdt r 刚体所受合力矩为刚体中所有质元rf 角Orii 动•r 量所受的力矩之和v ∆mii 定dLiz 理∴∑MiF+∑Mif=∑ iidt Q∑Mif=0 刚d∑Liz 体id(Jzω)(微分形式) 角∴MiF== 动dtdt 量 定意义绕定轴转动刚体对z轴的动量矩对时间的变化率等 理于作用在刚体上所有外力对z轴的力矩的代数和。 d(Jω) 刚由M=z两边同乘dt并积分，得 体iFdt t(Jω) Mdt=ztd(Jω) ∫tz∫(Jω)z 0zt0 t Mdt=(Jω)−(Jω)(积分形式) zztzt0 角∫t0 动 量讨论t Mzdt称为在时间t−t0内的冲量矩。它反应 定∫t0 理了力矩在一段时间间隔内的累积效应。 力矩在一段时间间隔内作用在刚体上的冲量矩 等于同一时间内定轴转动刚体的动量矩的增 刚量。 体 d(Jω)dω 角刚体M=z=JM=Jβ转动定理 动iFdtzdtzz 量 定对绕定轴转动的可变形物体角动量定理同样适用 理 但转动定理不再成立 三.角动量守恒定律 刚 体1.质点的角动量守恒定律 rr 若M=0，则L=常矢量 有心力作用有心力 角 动力过O点,角动量守恒 量 守 恒 例：利用角动量守恒证明开普勒第二定律——行星 对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积 r 质∆rr 点L=mvrsinα=mrsinαdS 角∆tM′ rr 动1rr+∆rrα 量∆rrsinα∆S∆rM 守=2m2=2m•r 恒∆t∆tOrm 2.刚体的角动量守恒定律 刚 体当物体所受的合外力矩为零时， Mz=0⇒Jzω=常 不仅适用于刚体，也可适用于质点系 角（1）对刚体，Jz不变，恒ω=定 动刚体作匀角速转动，又叫惯性转动。这一结果与质点 量 定的惯性运动相对应。 理 （2）对由多个刚体组成的孤立系统，如果系统某一部分的 角动量因内在相互作用而有所改变时，系统的其余部分必须 出现一等量（但反向）角动量改变，使总角动量保持守恒 刚 体 角JJωr=ωr 动∑∑ii00 ii 量 守 恒（3）Jz、ω同时改变，但乘积保持不变。 刚当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒 体 J(t)ω=常量J(t)ωJ(t)ω 角 动 量 定 理 刚 体 角 动 量如：花样滑冰跳水芭蕾舞等 守 恒 刚 体 角 动 量 定 理 刚 体 角 动 量 守 恒演示 刚 体 角 动 量 定 理 刚 体 角 动盘状星系、螺旋星云 量 守角动量守恒的结果 恒 啊啊 例:质点与质量均匀的细棒相撞(如图)o Ml 设，完全非弹性碰撞 θ 求：棒摆的最大角度 解：过程1质点与细棒相碰撞。碰撞过程 υ0 中系统对o点的合力矩为M=0ω 所以，系统对o点的角动量守恒。即，m LL=⎛⎞122 12mlυω0=+⎜⎟Mlml()1 ⎝⎠3 过程2质点、细棒上摆，系统中包括地球， 只有保守内力作功，所以机械能守恒。 设末态为势能零点质点势能 细棒势能 11⎛⎞2221 ⎜⎟Ml+mlω