函数的单调性与最值.doc

《函数的单调性与最值》导学案
命题：万立勇审题：吕继运
知识梳理
一、函数的单调性
1.单调函数的定义：一般地，设函数的定义域为，区间，如果对于区间内的任意两个值，当时都有，那么就称函数在区间上是单调()函数，区间称为的()区间.
2.判断函数单调性的常用方法：
（1）定义法：（2）图象法：（3）导数法：（4）利用复合函数的单调性：
3.关于函数单调性还有以下一些常见结论：
①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；
②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；
③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；
4.求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等
二、函数的最值
1．函数最大（小）值定义
最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，称M是函数的最大值．
思考：依照函数最大值的定义，结出函数的最小值的定义．
注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有．
2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
3.、判断最值常用的方法
eq\o\ac(○,1)利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
eq\o\ac(○,2)利用图象求函数的最大（小）值
eq\o\ac(○,3)利用函数单调性的判断函数的最大（小）值
典型例题分析
例1.求证：在上是增函数.

例2。已知函数．满足对任意的都有成立，则的取值范围是 （）
A．B． C． D．
变式训练：已知函数,若则实数的取值范围是．
小结与拓展：判断函数单调性的基本方法是定义法。
例3.（1）函数的递增区间为___________；
（2）函数的递减区间为_________。
变式训练1：求函数的单调区间；

变式训练2：已知在[0,1]上是减函数，则实数的取值范围是＿＿＿
小结与拓展：复合函数单调性按照“同增异减”的法则来判定
例4．函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.
（1）求证：f(x)是R上的增函数；
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.

小结与拓展：判断抽象函数单调性的基本方法是定义法，关键是根据条件判断的符号，需要设法构造出的因式。
变式训练：已知定义在区间上的函数满足，且当时，，
（1）求的值；（2）判断的单调性；（3）若，解不等式。
例5．（1）求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．
（2）求函数的最大值．
（3）求函数在[2，5]上的最大值和最小值

强化练习
1、函数，则的最大值、最小值为 .w.w.w.

2.设a，b∈R，且a＞0，函数f(x)＝x2＋ax＋2b，g(x)＝ax＋b，在[－1，1]上g(x)的最大值为2，则f(2)等于()．
A．4B．8C．10D．16
3.(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f(x)的图象是如下图所示的折线段OAB，
点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0)，定义函数g(x)＝f(x)·(x－1)，
则函数g(x)的最大值为________．
4．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．
①y＝－eq\f(1,x)②y＝－(x－1)③y＝x2－2④y＝－|x|
5.如果实数x、y满足x+y=4，则x2+y2的最小值是()高考资源网
A.4.B.6.C.8.D.10.
6..函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区间(－∞,4)上递减HYPERLINK"http:///",则a的取值范围是()
A. B.C.(－∞,5) D.
7.函数f(x)的定义域为D＝{x|x>0}，且满足：对于任意m，n∈D，都有f(m·n)＝f(m)＋f(n)．
(1)求f(1)的值；
(2)如果f(2)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤2，且f(x)在
(0，＋∞)上是单调增函数，求x的取值范围．

8、.已知函数
（1）当时，求函数的最小值；w.w.w.k.