整除质数与合数.doc

学习改变命运九年级世外暑期第十七讲答案版
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第十七讲
整除、质数与合数

的末两位数字与的末两位数字是相同的。而，所以，答案为。

设，则，
所以，
所以原式。

个位数字比十位数字大的两位数有。其中只有是质数。

两个质数的差为（是个奇数），那么这两个数必然是一奇一偶。
而唯一的偶质数只有，所以可知这两个数为和。
两个数的乘积为。各位数字之和为。

因为，必有一个数为，所以三个数分别为时最小，答案为。

从最大的除数开始寻找，发现时余数最大。所以最大余数为。

因为，而，
所以能被，，整除，从而易见是的倍数。
但是的倍数，不是的倍数，从而可知是的倍数，不是的倍数。

两个九位数是的倍数，差也是的倍数，考虑这两个九位数的差是的倍数。两个九位数的奇数位数字和与偶数位数字和相差是一样的，说明差就是的倍数，则只用根据的倍数的特征分析差的最后两位数字就行。
要使两个九位数的差是的倍数，其个位是偶数，则剪开之处就应该是奇偶相同，即有可能在、；、；、之间。
根据这三种情况进行计算：
当在、之间时，差的最后两位是，不是的倍数，则差就不是的倍数；
当在、之间时，差的最后两位是，不是的倍数，则差就不是的倍数；
当在、之间时，差的最后两位是，是的倍数，所以该从和之间剪开。

设这个十位数为，则显然J=0，B，D，F，H是2，4，6，8的一个排列，E=5。因为被4整除，被8整除，而C和G是奇数，所以D和H是2和6中的，而B和F是4和8中的。
前九位组成的数肯定能被9整除，而A+B+C，D+E+F，G+H+I分别被3整除。如果D=2，则F=8，H=6，B=4，A+4+C被3整除，所以A和C是1和7，G和I是3和9。被8整除，所以G=9，I=3，但是1472589和7412589都不被7整除。
D还剩下6可以取，则F=4，H=2，B=8。被8整除，所以G=3或7。A+8+C被3整除，所以A和C中一个从1和7中选，一个从3和9中选。在这八个数中，1836547，1896543，1896547，3816547，7896543，9816543，9816547，9876543，只有3816547被7整除，其中。
所以，所求的十位数是3816547290。