高二数学正弦定理复习.doc

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正弦定理和余弦定理
新知导学：
1.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的_______的比相等，即_______。
2.一般地，把三角形的三个角和它们所对的边叫做三角形的，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做。
3.用正弦定理可解决下列那种问题
已知三角形三边；②已知三角形两边与其中一边的对角；③已知三角形两边与第三边的对角；④已知三角形三个内角；⑤已知三角形两角与任一边；⑥已知三角形一个内角与它所对边之外的两边。
诱思探究：
正弦定理除了课本上用几何的方法证明外，和可以用向量的方法进行证明，下面我们以钝角三角形为例进行说明.
解析：在钝角三级形ABC中，如图一中，过A做单位向量j垂直于，则向量j与为向量j与的夹角为，向量j与的夹角为设ＡＢ=c,BC=a,AC＝ｂ．因为++=0，所以j（++）=j+j+j0。
即++0.
所以

当为锐角三角形（图二），直角三角形（图三）时，利用同样的方法证得结论。
A
B
C
图一
C
B
A
C
B
A
图二
图三
j
j
j

正弦定理与三角形的外接圆紧密联系，它们之间的具体关系是怎样的？
解析：设三角形ＡＢＣ的外接圆的半径为R，外接圆圆心为O，则有：具体的证明如下：
在下图中，连接CO延长后交圆O于A，则AC=2R，连接AB，则
。在中，BC=a,所以
a=2Rsina=2RsinA.同理可得：b=2RsinB,c=2RsinC.即：。
3.利用正弦定理体现了三角形中边角之间的关系，那么能否利用正弦定理与三角形的面积有何关系呢？
解析：①
如右图，，所以
所以
即三角形面积公式为：
（R为三角形外接圆半径）
疑难导析：
1.已知两边及其中一边的对角解三角形时，其余的一边两角是否唯一确定呢？情况怎样呢？
解析：在中，已知a,b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线ＡＢ的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：1.A为锐角时：
a
C
b
B
C
A
b
B
A
a
C
A
B
b
a
B
C
b
B
A
a
a<bsinA
b>a>bsinA
ab
a=bsinA

(2)A为直角或钝角时：
C
a
b
C
C
B
A
C
a
a
b
a>b

由上可见，已知两边及其中一边的对角解三角形时，其余的一边两角不是唯一确定，可以用下表标：
A为钝角A为直角A为锐角a>b一解一解一解a=b无解无解一解a<b无解无解a>bsinA
两解
a=bsinA
一解
A<bsinA无解在问题1.中我们已经知道已知两边及其中一边的对角解三角形时，其余的一边两角不是唯一确定，那如果已知三角形的任意两角与一边，求其它两边和一角的情况怎样呢？这种情况下会有几解呢？
解析：在三角形ABC中，如果已知A，B和b,那C是唯一确定的，利用正弦定理可以发现a,c只有一解，因此如果已知三角形的任意两角与一边，求其它两边和一角只有一种情况，只有一解。
典例导思:
考查目标一:已知三角形两角及其中一角的对边求解三角形。
典例1.已知：在中，，，，解此三角形。
导拨：在该题中，已知C及c,可以利用正弦定理列出方程进行求解。
解析：由，可得
由，可依次计算出，。
规律总结：已知三角形两角及其中一角的对边求解三角形这种情况只有一种，处理方法主要借助于正弦定理解方程，在求方程的过程中我们要分清角及其角的对边，搞清楚各个量之间的关系。
考查目标二：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形。
典例2.已知下列三角形的两边及其一边的对角，判断三角形的情况，有解的作出解答。
（1）a=7,b=9,A=100(2)a=10,b=20,A=75
(3)a=10,c=5,C=60(4)a=2
导拨：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体有几解可以借助于《疑难导析》1中的方法解决。
解析：（1）本题无解。
（2）本题无解。
（3）本题有一个解。
利用正弦定理，可得：
（4）本题有两解。
由正弦定理得：
当
综上所述：
规律总结：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体方法可以借助于下了表格：

A为钝角A为直角A为锐角a>b一解一解一解a=b无解无解一解a<b无解无解a>bsinA
两解
a=bsinA
一解
A<bsinA无解在线拓展：已知：在中，，，，解此三角形。
解析：由
∴当时,∴
∴当时,∴。
考察目标三：求三角形面积。
典例3：在的面积。
导拨：已知三角形两边及其一边的对角，由正弦定理来解题。
解析：根据正弦定理有
则C有两解。
（1）当C为锐角时，