东华大学几何与多元微积分(上)复习 06级-08级.doc

06级
一、填空题（5分8）：
1、当且仅当时，p级数收敛。
2、幂级数在内的和函数是。
3、设，则。
4、。
5、设，则。
6、两平行平面Ax+By+Cz+D1=0与Ax+By+Cz+D2=0之间的距离为。
7、两个球面的交线在xOy面上的投影曲线方程为。
8、的Fourier级数在时收敛于；时收敛于；时收敛于。

二、试解下列各题（6分4）：
已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角。
设f是C(2)类函数，，求。
求级数的和。
将函数展开成x的幂级数，并指出展开式成立的区间。
三、（8分）判别级数是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？

四、（8分）设，试用函数可微分的必要条件证明在点处不可微。
五、（8分）求过点且平行于平面，又与直线相交的直线的方程。
六、（6分）设是周期为的周期函数，它在上的表达式为

把展开成傅里叶级数。
七、（6分）证明曲线是两相交直线，并求其对称式方程。

07级

一、填空题（4分8）：
1、当x满足条件时，级数收敛。
2、设级数收敛于2，则。
3、若幂级数在处收敛，则在处（填入条件收敛、绝对收敛或发散）
4、点到平面的距离为。
5、平面与平面的夹角为。
6、三角形的三个顶点分别为，则三角形的面积为。
7、已知函数满足，则＝。
8、已知函数，则＝。

二、解答下列各题（7分5）
1、设函数一阶连续可导，，求。
2、设是周期为2的周期函数，在上函数的定义为，在上的傅立叶级数展开式为。求，并写出傅立叶级数在上的和函数的表达式。
3、求经过直线，且与平面垂直的平面方程。
4、已知空间曲线，写出该曲线的参数方程；并求以该曲线为准线，母线垂直于平面的柱面方程。
5、讨论级数的敛散性。
三、（8分）将函数在处展开为幂级数。
四、（8分）考察函数在处的连续性、可导性与可微性。

五、（7分）求点在平面上的投影点。
六、（5分）已知非零向量不共线，令，其中m为实数，证明当最小时。
七、（5分）证明。

08级
一、填空题（每小题4分，总计32分）
过点（1，2，-1）且与直线垂直的平面方程为。
2、设直线。
3、设。
4、将函数展开为x的幂级数。
5、设幂级数的收敛半径是4，则幂级数的收敛半径是。
6、判别级数的敛散性：。
7、曲线绕y轴旋转所生成曲面的方程为。
8、设，则=。
二、计算下列各题（每题6分,共18分）
设具有一阶连续导数），求。
用定义判别级数的敛散性，若收敛求其和。
设，又设是的以为周期的正弦级数展开式的和函数，写出在[0，2]内的表达式，并且求出。

三、（8分）将的幂级数。

四、（8分）求点分别到直线和平面的距离。

五、（9分）已知为两两垂直的三个向量,求
。
六、（10分）讨论函数在点（0，0）处的连续性、可偏导性与可微性。
七、（10分）求幂级数的收敛区间及其和函数，并且求的和。
八、（5分）设级数收敛，绝对收敛，证明绝对收敛。