东华大学几何与多元微积分A(下)复习题.doc

几何与多元微积分Ａ（下）复习题
07级
填空题（每小题4分，共28分）：
1、设函数由方程所确定，则。
2、函数的驻点是。
3、根据二重积分的几何意义，其中。
4、。
5、柱面以平面上的线段为准线，母线平行于轴，则介于平面及曲面之间的部分的面积可用曲线积分表示为。
6、设有连续导数，是单连通域上任意简单闭曲线，且。则
。
7、设是面上的闭区域的上侧，则。
试解下列各题（每小题7分，共28分）：
1、求曲面在点处的切平面和法线方程。
2、计算二重积分，其中是由直线及所围成的闭区域。
3、利用球面坐标计算积分，为球体。
、计算积分，其中是摆线自点到点的一段，为正的常数。
三、（10分）求在圆域上的最大值和最小值。
四、（10分）设圆形薄片的面密度函数为，试求薄片质量。
五、（10分）计算，其中是半锥面的介于及之间的那部
分锥面。
六、（10分）计算曲面积分，其中是旋转抛物面介于平面及
之间的部分的下侧。
七、（4分）设在上有连续的导函数，试证：。

08级
一、填空题（每小题4分，共40分）：
1、函数在点处取得极值。
2、函数在点处沿方向的方向导数是。
3、曲面在点处的切平面方程为。
4、交换积分次序：。
5、。
6、设，则。
7、设椭圆的周长为，则曲线积分。
8、设曲面，则曲面积分。
9、设均匀螺旋形弹簧的方程为，它的线密度为，则它关于轴的转动惯量。
10、设为正向圆周，则。
二、试解下列各题（每小题8分，共24分）：
1、设由方程所确定，求。
2、设是由及所围的有界闭区域，求。
3、求，其中为平面被柱面所截得的部分。
三、（10分）求从原点到曲面上的最短距离。
四、（10分）
求，其中，若从轴正向看去，取顺时针方向。
五、（10分）
计算曲面积分，其中是曲面的上侧。
六、（6分）设正值函数在闭区间上连续，，
证明。

09级
一、填空题（每题4分，共40分）：
1、方程所确定的函数，则。
2、函数在点处沿从点到方向的方向导数为。
3、，则。
4、曲面在点处的切平面方程为。
5、函数在点处取得极(大、小)值。
6、，其中。
7、设由柱面与平面围成，则。
8、交换积分次序：。
9、设为圆周，则。
10、设是椭圆位于第一象限的部分，已知，则其形心的横坐标。
二、试解下列各题（每题6分，共36分）：
1、计算，其中是由直线所围成的闭区域。
2、计算，其中。。
3、计算，其中。
4、已知椭圆，周长为，求。
5、计算，其中为柱面螺线上对应到的一段弧。
6、计算，为锥面被柱面所截得的部分。
三、（7分）计算为上侧。
四、（7分）设为曲面，取上侧，
求。
五、（7分）计算，其中由锥体及平面围成。
六、（3分）三重积分，由曲面围成，写出球面坐标下
的累次积分式。
10级（Ａ）(2011.6.16)
填空题（每题4分，共32分）：
1、函数在处有极值。
2、求函数在处沿梯度方向的方向导数。
3、曲面在点处的切平面方程为。
4、。
5、，其中积分域D是由所围成的扇形区域。
6、，其中为。
7、，其中为xoy面上闭区域的上侧。
8、，其中L为圆上由点到点的上半圆弧。
计算下列各题（每题6分，共30分）：
1、计算，其中积分域是由直线所围成的区域。
2、计算，其中积分域为球体。
3、计算，其中L是抛物线介于与点之间的那一段弧。
4、利用条件极值计算，从斜边长为定值的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。
5、求由圆周的外部及心脏线的内部所围成的平面图形的面积。
三、（9分）计算。
四、（8分）求由锥面及平面所围成区域的整个边界曲面的面积。
五、（8分）利用格林公式计算曲线积分，其中L为正弦曲线，
所围区域的正向边界。
六、（8分）计算，为有向曲面的上侧。
七、（5分）试证明：，其中。