初中数学竞赛重要定理整集.doc

射影定理
一、

射影定理
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC,(3)(AC)^2;=CD·BC。等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)
目录
直角三角形射影定理的证明
任意三角形射影定理
射影
所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。初中射影定理的内容:射影定理的内容是在直角三角形中，每条直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项，斜边上的高线是两条直角边在斜边射影的比例中项公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）²=BD·DC，（2）（AB）²=BD·BC，（3）（AC）²=CD·BC。等积式（４）ABXAC=BCXAD(可用“面积法”来证明）
直角三角形射影定理的证明
证明：

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射影定理简图(几何画板)
一、
在△BAD与△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，∴∠A=∠DBC，
又∵∠BDA=∠BDC=90°，
∴△BAD∽△CBD，
∴AD/BD＝BD/CD，即BD^2;=AD·DC。其余类似可证。(也可以用勾股定理证明)
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
有射影定理如下：
AB^2;=AD`AC，BC^2;=CD·CA。
两式相加得：
AB^2;+BC^2;=AD·AC+CD·AC=（AD+CD)·AC=AC^2;,
即AB^2;+BC^2;=AC^2;（勾股定理结论）。
二、
已知:三角形中角A=90度,AD是高.
用勾股证射影
:因为AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,
所以2AD^2=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BD+CD)^2-(BD^2+CD^2)=2BD*CD.
故AD^2=BD*CD.
运用此结论可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD*CD=BD*(BD+CD)=BD*BC,AC^2=CD^2+AD^2=CD^2+BD*CD=CD(BD+CD)=CD*CB.
综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。
任意三角形射影定理
任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：
△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a＝b·cosC＋c·cosB，
b＝c·cosA＋a·cosC，
c＝a·cosB＋b·cosA。
注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且
BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB.同理可证其余。

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证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA
=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB＋b·cosA.同理可证其它的。

二、直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
1.（AD）^2=BD·DC，
2.（AB）^2=BD·BC，
3.（AC）^2=CD·BC。
这主要是由相似三角形来推出的，例如，“（AD）^2=BD·DC：”的证明如下：
在△BAD与△ACD中，∠B=∠DAC，∠BDA=∠ADC=90°，△BAD∽△ACD相似，
所以AD/BD＝CD/AD，
所以（AD）^2=BD·DC。
注：由上述射影定理还可以