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第三章矩阵分析
在此之前我们只研究了矩阵的代数运算，但在数学的许多分支和工程实际中，特别是涉及到多元分析时，还要用到矩阵的分析运算．本章首先讨论矩阵序列的极限和矩阵级数，然后介绍矩阵函数和它的计算，最后介绍矩阵的微积分，以及矩阵分析在解微分方程组和线性矩阵方程中的应用．
§3.1矩阵序列
定义3.1设有中的矩阵序列，其中．若，则称矩阵序列收敛于，或称A为矩阵序列的极限，记为
或
不收敛的矩阵序列称为发散．
由定义可见，中一个矩阵序列的收敛相当于mn个数列同时收敛．因此，可以用初等分析的方法来研究它．但同时研究mn个数列的极限未免繁琐．与向量序列一样，可以利用矩阵范数来研究矩阵序列的极限．
定理3.1设，．则的充分必要条件是，其中是上的任一矩阵范数．
证先取上矩阵的G-范数．由于

所以的充分必要条件是．
又由范数的等价性知，对上任一矩阵范数，存在正常数α，β，使得

故的充分必要条件是．证毕
推论设，，．则

其中是上任一矩阵范数．
证由即知结论成立．证毕
需要指出的是，上述推论的相反结果不成立．如矩阵序列

不收敛．但

收敛的矩阵序列的性质，有许多与收敛数列的性质相类似．
定理3.2设，，其中，，A，B为适当阶的矩阵，α，β∈C．则
(1)；
(2)；
(3)当与A均可逆时，．
证取矩阵范数，有

由定理3.1和推论知(1)和(2)成立．
因为，存在，所以，又有．于是证毕
定理3.2(3)中条件与A都可逆是不可少的，因为即使所有的可逆也不能保证A一定可逆．例如
对每一个都有逆矩阵，但

而A是不可逆的．
在矩阵序列中，最常见的是由一个方阵的幂构成的序列．关于这样的矩阵序列有以下的概念和收敛定理．
定义3.2设，若，则称A为收敛矩阵．
定理3.3设，则A为收敛矩阵的充分必要条件是ρ(A)＜1．
证必要性．已知A为收敛矩阵，则由谱半径的性质，有

其中是上任一矩阵范数，即有，故ρ(A)＜1．
充分性．由于ρ(A)＜1，则存在正数ε，使得ρ(A)+ε＜1．根据定理2.14，存在上的矩阵范数，使得从而由得．故．证毕
推论设．若对上的某一矩阵范数有，则A为收敛矩阵．
例3.1判断下列矩阵是否为收敛矩阵：
(1)；(2)．
解(1)可求得A的特征值为，，于是，故A是收敛矩阵；
(2)因为，所以A是收敛矩阵．
§3.2矩阵级数
定义3.3由中的矩阵序列构成的无穷和称为矩阵级数，记为．对任一正整数N，称为矩阵级数的部分和．如果由部分和构成的矩阵序列收敛，且有极限S，即，则称矩阵级数收敛，而且有和S，记为不收敛的矩阵级数称为发散的．
如果记，，显然相当于

即mn个数项级数都收敛．
例3.2已知

研究矩阵级数的敛散性．
解因为

所以

故所给矩阵级数收敛，且其和为S．
定义3.4设．如果mn个数项级数
都绝对收敛，即都收敛，则称矩阵级数绝对收敛．
利用矩阵范数，可以将判定矩阵级数是否绝对收敛转化为判定一个正项级数是否收敛的问题．
定理3.4设．则矩阵级数绝对收敛的充分必要条件是正项级数收敛，其中是上任一矩阵范数．
证先取矩阵的-范数．若收敛，由于

从而由正项级数的比较判别法知都收敛，故绝对收敛．
反之，若绝对收敛，则都收敛，从而其部分和有界，即
记，则有
故收敛．这表明绝对收敛的充分必要条件是收敛．由矩阵范数的等价性和正项级数的比较判别法知，收敛的充分必要条件是收敛，其中是上任一矩阵范数．证毕
利用矩阵级数收敛和绝对收敛的定义，以及数学分析中的相应结果，可以得到以下一些结论．
定理3.5设，，其中，，A，B是适当阶的矩阵，则
(1)；
(2)对任意λ∈C，有；
(3)绝对收敛的矩阵级数必收敛，并且任意调换其项的顺序所得的矩阵级数仍收敛，且其和不变；
(4)若矩阵级数收敛(或绝对收敛)，则矩阵级数也收敛(或绝对收敛)，并且有
(5)若与均绝对收敛，则它们按项相乘所得的矩阵级数
也绝对收敛，且其和为AB．
证只证(4)和(5)．若收敛，记，则．从而

可见收敛，且式(3.1)成立．
若绝对收敛，则由定理3．4知收敛，但其中α是与k是无关的正数，从而收敛，即绝对收敛．
当和绝对收敛时，由定理3.4知和收敛，设其和分别为与，从而它们按项相乘所得的正项级数

也收敛，其和为．因为

所以矩阵级数(3.2)绝对收敛．记，，

则
又记，，

显然
故由和，得证毕
下面讨论一类特殊的矩阵级数——矩阵幂级数．
定义3.5设，．称矩阵级数为矩阵A的幂级数．
利用定义来判定矩阵幂级数的敛散性，需要判别个数项级数的敛散性，当矩阵阶数n较大时，这是很不方便的，且在许多情况下也无此必要．显然，矩阵幂级数是复变量z的幂级数的推广．如果幂级数的收敛半径为r，则对收敛圆内的所有z，都是绝对收敛的．因此，讨论的