概率论及数理统计4--随机变量的数字特征.ppt

随机变量的数字特征
与极限定理一、离散型随机变量的数学期望若统计100天,可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.这是以频率为权的
加权平均不妨把小张生产中出废品的情形用一个球箱模型来描述:记X为所取出的球的号码(对应废品数).X为随机变量，X的概率分布列为输入试验次数(即天数)n,计算机对小张的生产情况进行模拟,统计他不出废品，出一件、二件、三件废品的天数n0,n1,n2,n3,并计算则对X作一系列观察(试验)，所得X的试验值的平均值也是随机的.定义1设X是离散型随机变量，它的概率分布列是:P(X=Xk)=pk,k=1,2,…例2某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门.若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.例3(0－1分布)设X的分布列为例4．（泊松分布）设X的分布列为二、连续型随机变量的数学期望小区间[Xi,Xi+1)由此启发我们引进如下定义.例5．（均匀分布）设X的概率密度为例6．（指数分布）设X的概率密度为例7．（正态分布）设例8．（柯西分布）设X的概率密度为这意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分别测量他们的身高，那么，这些身高的平均值近似是1.68.三、随机变量函数的数学期望如何计算随机变量函数的数学期望?那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？类似引入上述E(X)的推理，可得如下的基本公式:将g(X)特殊化，可得到各种数字特征:例1.设X的分布列为例2.设公共汽车起点站在每小时的10分，30分，
50分发车，一位不知发车时间的乘客，每
小时内到达车站的时间是随机的，求该乘客
在车站等车的数学期望。则设(X,Y)是二维随机变量,Z=g(X,Y)，则当(X,Y)是连续型时：联合概率密度为f(x,y)四、数学期望的性质五、数学期望性质的应用
例2把数字1,2,…,n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.下面我们给出数学期望应用的一个例子.这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.一、方差的定义若X的取值比较分散，则方差较大.X为离散型，
P(X=xk)=pk二、计算方差的一个简化公式例1.设X~P(λ),求DX.例2.设X~U[a,b]求DX例3.设求DX若X~B（1，P）则DX=pq
若X~P（λ）则DX=λ
若X~U[a,b]则例4设r.vX服从几何分布，概率分布列为D(X)=E(X2)-[E(X)]2三、方差的性质4.D(X)=0P(X=C)=1，这里C=E(X)例5二项分布的方差于是这一讲，我们介绍了随机变量的方差.前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的任意两个随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y),定义为Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)若X1,X2,…,Xn两两独立,，上式化为协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如：二、相关系数相关系数的性质：2.X和Y独立时，=0，但其逆不真.例1设X服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而
Y=cosX,例2.设随机变量X的概率密度为
试证
X与不相关,但不独立.对任意常数a有：存在常数a,b(b≠0），考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y，=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)
-2aE(Y)这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X下面四个是等价的：但对下述情形，独立与不相关等价例2设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2),
Y~N(0,1).试求Z=2X-Y+3的概率密度.故Z的概率密度是这一讲我们介绍了协方差和相关系数若二维随机变量（X,Y）具有概率密度二维正态分布的两个边缘密度仍是
正态分布.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.切比雪夫不等式当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.vX与它的期望的偏差不小于的概率的估计式.例1.已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方