高中数学教师资格考试学科知识与教学能力模拟试题与参考答案.docx

教师资格考试高中数学学科知识与教学能力模拟试题与参考答案
一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1、在《九章算术》中，称底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥为阳马，已知在阳马P-ABCD中，AB=2，AD=1，PA=3，侧面PAD⊥底面ABCD，则该阳马的外接球的表面积为()
A.2πB.4πC.6πD.8π
答案：B
解析：
由于侧面PAD⊥底面ABCD，且AB=2，AD=1，PA=3，我们可以推断出三角形PAD是一个直角三角形，其中∠PDA=90∘。
取PD的中点为E，连接AE，则AE⊥PD。
由于侧面PAD⊥底面ABCD，且PD为交线，我们可以得出AE⊥底面ABCD。
设外接球的球心为O，由于O到平面PAD和底面ABCD的距离相等，我们可以推断出O位于线段AE上。
设外接球的半径为R，由于AE=12×AD2+PA2=1，我们可以得出OE=R−1。
又因为O是外接球的球心，所以OA=R。
在直角三角形OEA中，根据勾股定理，我们有：
解这个方程，我们得到R=1。
最后，外接球的表面积为4πR2=4π。
2、设函数f(x)={(3a-1)x+4a,x<1logₐ(x),x≥1}是R上的减函数，则实数a的取值范围是()
A.(0,1/7)B.(0,1/3)C.[1/7,1/3)D.(1/7,1/3)
答案：A
解析：
首先，考虑函数的第一部分：fx=3a−1x+4a，当x<1。
要使这部分函数单调递减，需要其斜率3a−1<0，解得a<13。
其次，考虑函数的第二部分：fx=logax，当x≥1。
由于对数函数的单调性取决于底数，当0<a<1时，logax是单调递减的。
最后，考虑两部分函数在x=1处的连接。
由于fx是R上的减函数，那么在x=1处，第一部分函数的值应该大于等于第二部分函数的值，即：
3a−1×1+4a≥loga1由于loga1=0（任何数的0次方都是1），上式简化为：
3a−1+4a≥07a≥1a≥17
综合以上三个条件，得到a的取值范围为：17≤a<13。
但由于选项中没有包含端点17，且题目要求的是严格小于13，所以答案是0,17。
3、函数y=1x−x的单调递减区间是()
A.−∞,0和0,+∞B.−∞,−1和1,+∞
C.−1,0和0,1D.(−∞,−1]和[1,+∞)
答案：B
解析：
首先，函数y=1x−x的定义域为x|x≠0，即
4、下列函数中，既是奇函数又是增函数的是()
A.y=x^3B.y=|x|C.y=x^(-1)D.y=log₂(x+1)
答案：A
解析：
A.对于函数y=x3，其定义域为全体实数集R。由于f−x=−x3=−x3=−fx，所以它是奇函数。同时，其导数f′x=3x2≥0，说明在整个定义域上都是增函数。故A正确。
B.对于函数y=x，其定义域为全体实数集R。由于f−x=−x=x=fx，所以它是偶函数，不是奇函数。故B错误。
C.对于函数y=x−1，其定义域为x|x≠0。由于f−x=1−x=−1x=−fx，所以它是奇函数。但是，在−∞,0和0,+∞上，它的单调性是相反的，即在整个定义域上不是单调函数。故C错误。
D.对于函数y=log2x+1，其定义域为x|x>−1。由于定义域不关于原点对称，所以它是非奇非偶函数。故D错误。
5、已知a=log23，b=log46，c=log89，则()
A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c
答案：C
解析：
首先，我们将所有的对数都转化为以2为底的对数形式，以便进行比较。
a=log23
b=log46=log26log24=log262=12log22+log23=12+12log23
c=log89=log29log28=log2323=23log23
现在，我们可以直接比较这三个数的大小了。
由于log23>1（因为3>2），所以
c=23log23<12+12log23=b<log23=a
即c<b<a。
6、已知a=log23.1，b=log46.2，c=log812.5，则()
A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a
答案：D
解析：
首先，我们将所有的对数都转化为以2为底的对数形式，以便进行比较。
a=log23.1
b=log46.2=log26.2log24=12log26.2
c=log812.5=log212.5log28=13log212.5
接下来，我们利用对数函数的单调性进行比较。
由于对数函数y=log2x在0,+∞上是增函数，所以当x的值从3.1增加到6.2再增加到12.5时，log2x的值也会相应增加。
因此，我们有：
{2}3.1<{2}6.
7、已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的最小正周期为π，且f(π/4)=1，则