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数与代数应用问题的内容主线和教学建议
北京教育学院数学系张丹
这里所指的“数与代数应用问题”（以下简称应用问题）是指运用数与代数的知识和方法解决实际生活中的问题，这无疑是学生学习数与代数的重要目标。要讨论这个主题，首先需要说明的是本问为什么使用这个提法，却没有使用大家熟悉的“解决问题”和“算术应用题”。
与“应用问题”相比，“解决问题”无疑是个更大范畴的概念。这既包括所涉及的领域不仅仅是数与代数的应用，还包括空间与图形、统计与概率以及综合运用所有领域的知识和方法；同时解决问题也不仅仅局限于解决实际问题，还包括解决数学内部的问题。更为重要的，本文所持的观点是把解决问题中的“问题”解释为“非常规”的，学生必须经历探索、适当的创造并综合运用数学知识和方法加以解决的问题，即“问题解决”（ProblemSolving）。即使都是解决实际问题，解决问题中的“问题”是具有真实意义的问题，它与学生的实际生活密切相关，往往需要考虑现实生活中的诸多因素，从而具有开放的特点。解决这些问题，学生并无类似熟悉的题目和解法去模仿，需要学生进行探索、讨论和一定的创造。而应用问题中的“问题”，尽管提倡要符合学生实际，并且力求具有一定的开放性，但总体来说，问题已经经过了一定的简化，背景相对简单，其中蕴含的数量关系也往往是学生熟悉的，因此学生所做的工作主要是分析出其中的数量关系，并联系所学的知识和方法加以解决。需要指出的是，对比两者并不是说我们不提倡解决问题，而主要是为了界定这里所讨论的主题。实际上，我们更应以解决问题为理念和目标，指导应用问题的教学，比如注重学生思考的过程，设计的题目要符合学生的生活经验，适当设计具有开发性的问题。
算术应用题是传统小学数学课程的重要内容，在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）中没有使用算术应用题的名词，并且提倡将计算和应用结合起来，这并不是削弱应用题的教学。实际上，传统算术应用题教学在整个小学阶段对学生发展产生了重要的作用，但也确实存在着一些问题：第一，在学生解答的应用题中，很大一部分的内容远离他们的生活，造成了应用题“不应用”。第二，过于注重问题的类型和固定解法，套搬题型的现象比较严重。诚然，这样做可以提高学生解符合“题型”的问题时的速度。但设置应用题的目的是培养学生解决实际问题的能力，如果忽视对问题实际意义和数学意义的理解，只是套搬题型，学生的解决问题的能力又如何能提高？同时，原有应用题的分类，在数学逻辑上无疑是正确的，但是否是学生真正思考问题和解决问题的途径呢，学生是否必须要经历分辨题型才能解决问题呢，这些都需要认真思考。第三，呈现形式单一，基本上是纯文字叙述，同时所提供的信息往往是不多不少，这既无法激发学生解决问题的动机，又与信息及其呈现形式丰富的现实世界不相符合。这些问题都在一定程度上造成了学生一接触到生活中的实际问题，往往感到无从着手。第四，目前在小学高年级将使用方程解决应用题，再使用算术应用题的提法显然也不科学。随着代数的方法不断地渗透到小学数学中来，一些繁难的应用题的算术解法应该得到淡化。综上所述，为了既继承原有的算术应用题教学中的优势，又避免其中的问题，更好的反映小学数学课程所追求的目标，本文没有使用“算术应用题”，而采取了“应用问题”的说法。
经过几年实践，教师们对于《标准》中应用问题设计的理念普遍认同，但在具体教学中又出现了一些新的疑惑。实验教材将应用与计算结合在一起出现，将解决实际问题作为数与运算学习的自然组成部分，这无疑是重要并且应该坚持的。但由于缺乏相应的系统思考和研究，造成教师们在教学时往往把握不好每节课应该以应用为重还是计算为重？另外，不以传统的类型为线索，实验教材在应用问题的安排方面是否存在其他基本线索呢？没有传统的应用题类型，不去训练学生记忆一些基本应用题的类型，如何指导学生去分析问题和解决问题呢？这些问题无疑都是需要认真思考和交流的。图1呈现了笔者认为的应用问题内容中的基本线索。下文将具体阐述这些线索，并提出一些教学策略和建议。
应用问题
运算的实际背景
表征和分析数量关系
分析问题和解决问题的策略
基本的数量关系
解的检验

图1应用问题的内容主线

一、以四则运算的实际背景为线索，注重学生对于运算意义的理解
为了解决问题，学生首先需要学习在什么实际背景中应该用加法、减法、乘法或除法来解决问题，即四则运算的实际背景，有人也称之为四则运算的意义。四则运算实际背景的不断丰富构成了教材编写的一条线索，教师应该对此加以梳理，并且思考如何能帮助学生理解和积累这些背景。
1.注重“实际背景”的积累
“以加法做合并或移入的模型；以减法做拿走、比较、移出或加法逆运算的模型；以乘法做大小的变化、交叉相或比率因子的使用的模型；以除法做比、率、比率除法、大小变化除法