差分方程建模 ppt.ppt

§差分方程建模满足一差分方程的序列yt称为此差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解，例如，考察两阶差分方程则被称为方程对应的齐次线性差分方程。方程（4.15）可用如下的代数方法求其通解：
（步一）先求解对应的特征方程情况4若例4.13求解两阶差分方程例4.14（市场经济的蛛网模型）
在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的积极性，导致商品生产量的下降。
在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的函数：
（1）供应函数x=f(P)，它是价格P的单增函数，其曲线称为供应曲线。
（2）需求函数x=g(P)，它是价格P的单降函数，其曲线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的形状如图所示。记t时段初市场上的供应量(即上
一时段的生产量)为xt，市场上
该商品的价格为Pt。商品成交的
价格是由需求曲线决定的，即图①和图②的区别在哪里，
如何判定平衡点的稳定性呢？现在利用差分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是否正确。我们知道，平衡点M*是否稳定取决于在M*附近供、需曲线的局部性态。为此，用M*处供、需曲线的线性近似来代替它们，并讨论此线性近似模型中M*的稳定性。由此导出一阶差分方程：
（4.21）
将（4.19）式、（4.21）式代入（4.20）式，整理得记（4.23）
（4.23）式是一个二阶常系数差分方程，其特征方程为例如，若取例4.16商品销售量预测
(实例)某商品前5年的销售量见表。现希望根据前5年的统计数据预测第6年起该商品在各季度中的销售量。求得a=1.3，b=9.5。
根据预测第六年起第一季度的销售量为
=17.3，=18.6，…
如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。仍以第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示第t年第一节季度的销售量，建立形式如下的差分方程：即求解虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个巧合。根据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量的预测值y6=21，y7=19，…等。
上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前5年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。凭直觉，第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。求解线性方程组某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。确定某甲的代谢消耗系数第一阶段:w(k)每周减1千克,c(k)减至下限10000千卡第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克运动t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。3）达到目标体重75千克后维持不变的方案7.3差分形式的阻滞增长模型离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性(1)的平衡点x*——代数方程x=f(x)的根00初值x0=0.2倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论倍周期收敛倍周期收敛的进一步讨论的收敛、分岔及混沌现象7.4按年龄分组的种群增长假设
与
建模稳定状态分析的数学知识稳态分析——k充分大种群按年龄组的分布~1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1