数值分析课件--第二章 解线性方程组的直接方法.ppt

第2章解线性方程组的直接法若矩阵A非奇异,即det(A)≠0,则方程组(2.1)有唯一解。消去后两个方程中的x1得上述求解的消元过程可用矩阵表示为:第一步.设,依次用其中如此继续消元下去,第n-1步结束后得到矩阵:顺序Gauss消去法求解n元线性方程组的乘除运算量是：
n2-1§1.2主元Gauss消去法用顺序Gauss消去法,消元得然后进行第二步消元得增广矩阵B(3)=(A(3),b(3)).方程组具有四位有效数字的精确解为
x1*=17.46,x2*=-45.76,x3*=5.5462.用列主元Gauss消去法求解,消元过程为回代得:x3=5.545,x2=-45.77,x1=17.46§2直接三角分解法则有A(3)=也就是:所以有:式A=LU称为矩阵A的三角分解.下面介绍矩阵三角分解的Doolittle分解方法,对k=2,3,…,n,计算由利用三角分解方法解线性方程组先解由为了提高数值稳定性,可考虑列主元三角分解法,设已完成A=LU的k-1步分解计算,矩阵分解成例如,用列主元三角分解解例3中方程组.则有设A为对称正定矩阵,则有唯一分解A=LU,且ukk>0.分解A=GGT称为对称正定矩阵的Cholesky分解.解三角方程Gy=b,GTx=y可得平方根法是求对称正定系数线性方程组的三角分解法,对称正定矩阵的Cholesky分解的计算量和存贮量均约为一般矩阵的LU分解的一半.且Cholesky分解具有数值稳定性.追赶法是求三对角线性方程组的三角分解法.即方程其中解当满足条件
|a1|>|c1|>0;|an|>|dn|>0;|ai||ci|+|di|,cidi0,i=2,3,…,n-1.
时,追赶法是数值稳定的,追赶法具有计算程序简单,存贮
量少,计算量小的优点.§3向量和矩阵的范数记x=(x1,x2,…,xn)T,常用的向量范数有:常用的三种向量范数满足如下等价关系
‖x‖‖x‖1n‖x‖,xRn§3.2矩阵的范数矩阵的-范数:‖A‖设‖‖是一种向量范数,则定义矩阵的范数与矩阵的特征值之间也有密切的联系.任何两种矩阵范数也具有等价性
m‖A‖‖A‖M‖A‖,ARnn若把线性方程组变为设线性方程组
Ax=b再设b是精确的,A有误差A,此时记解为x+x,则
(A+A)(x+x)=b经常使用的条件数有
Condp(A)=‖A‖p‖A-1‖pp=1，2，。(1)矩阵元素间数量级差很大,且无一定规律;称之为预条件方程组,显然与原方程组等价.可逆矩阵C称为预条件矩阵.矩阵C应满足条件练习题练习题练习题课堂练习课间