一道竞赛试题的多种解法.doc

一道不等式竞赛题的多种解法
唐作明（永州市教育科学研究院）
不等式对于一切正数恒成立．则实数的最小值为．（第17届“希望杯”全国数学邀请赛）
一、几种解法
1．分离参数法．
解：原不等式可化为：．
令，则有．
而，当且仅当时，取等号．
则，故．
所以，的最小值为2．
2．三角换元法．
解：令，则可设，其中．
原不等式可化为：，
即．
令
，（其中）．
显然，．所以的最小值为2．
3．基本不等式法．
解：原不等式可化为：．
因为，不等式可化为，
即有
令，则有．
显然，只有当时，．
所以，．
解得，故的最小值为2．
4．构造函数法．
解：原不等式可化为：．
，不等式可化为
令，
当时，要使恒成立．
若，显然不合题意；
若，则或（无解）．
当时，解得．
故的最小值为2．
二、推广及证明
推广：不等式对于一切正数恒成立．则实数．
证法一：令，则可设，其中．
原不等式可化为：，
即．
令
（等号显然可以成立）．
所以，．
证法二：原不等式可化为．
令，则，
当，且时，
即时，．
所以，．
三、两道变式题的解法
１．设，满足，求．（浙江省高中数学夏令营）
解：由于，
所以，

．
同理可得．
故．
于是，，即．
2．已知，若恒成立，则的取值范围是．
解法一：构造，使．则．
原不等式可化为．
即．
而
（当且仅当时，取等号）．
故．
解法二：令，则有
而（当且仅当时，即取等号）．．

注：本文发表在《数学竞赛之窗》。