第14讲 空间向量与立体几何.doc

专题限时集训(十四)

[第14讲空间向量与立体几何]

(时间：10分钟＋35分钟)

1．已知向量{a，b，c}是空间的一基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间的另一基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是()
A．(4,0,3)B．(3,1,3)
C．(1,2,3)D．(2,1,3)
2．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，则x＝2，y＝－3，z＝2是P，A，B，C四点共面的()
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．在空间直角坐标系中，点M(5,1，－2)关于xOz面的对称点坐标为________．
4．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.

1．平面α的一个法向量n＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为()
A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)
C.eq\f(π,3)D.eq\f(3π,4)

2．平面α，β的法向量分别是n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,0，－1)，则平面α，β所成角的余弦值是()
A.eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)
C.eq\f(\r(6),3)D．－eq\f(\r(6),3)
3．点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s＝(1，－1,1)的直线l的距离为eq\r(6)，则点M的坐标是()
A．(0,0，±2)B．(0,0，±3)
C．(0,0，±eq\r(3))D．(0,0，±1)
4．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，且0≤x≤y≤z≤1.则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是()
A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,6)
5．平面α经过点A(0,0,2)且一个法向量n＝(1，－1，－1)，则x轴与平面α的交点坐标是________．
6．如图14－1，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是________．

图14－1
7.如图14－2，三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1.
(1)求证：AC1⊥平面A1BC；
(2)求二面角A－A1B－C的余弦值．

图14－2

8．如图14－3，在底面是正方形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．
(1)求证：BD⊥FG；
(2)确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
(3)当二面角B－PC－D的大小为eq\f(2π,3)时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

图14－3

专题限时集训(十四)
【基础演练】
1．B【解析】设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，又p＝4a＋2b＋3c，故(x＋y)a＋(x－y)b＋zc＝4a＋2b＋3c，由于a，b，c不共面，根据平面向量基本定理得x＋y＝4，x－y＝2，z＝3，即x＝3，y＝1，z＝3，即p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是(3,1,3)．
2．B【解析】当x＝2，y＝－3，z＝2时，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－3eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))，则eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－3(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→)))＋2(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6