第07讲-立体几何与空间向量(解析版).pdf

第07讲-立体几何与空间向量一、高考热点牢记概念公式，避免卡壳1.空间几何体的表面积与体积公式名称表面积体积几何体柱体(棱柱和圆柱)S＝S＋2SV＝Sh表面积侧底1锥体(棱锥和圆锥)S＝S＋SV＝Sh表面积侧底31台体(棱台和圆台)S＝S＋S＋SV＝(S＋S＋SS)h表面积侧上下3上下上下42.球的表面积和体积：S＝4πR2，V＝πR3.球球33.空间两直线的位置关系(1)相交；(2)平行；(3)异面(不同在任何一个平面内).4.空间平行关系的判定(1)线线平行：①线面平行性质；②面面平行性质；③公理4；④线面垂直性质.(2)线面平行：①判定定理；②面面平行性质.(3)面面平行：①判定定理；②线面垂直性质；③面面平行传递性.5.空间垂直关系的判定(1)线面垂直：①判定定理；②面面垂直性质；③a∥b，且a⊥αb⊥α.(2)面面垂直：①判定定理；②面面垂直定义.6.空间向量的模与夹角设＝，，，＝，，，则a(a1a2a3)b(b1b2b3)＝2＋2＋2，＝2＋2＋2(1)|a|a1a2a3|b|b1b2b3.ab＋ab＋ab(2)cos〈a，b〉＝112233.2＋2＋22＋2＋3a1a2a3·b1b2b3活用结论规律，快速抢分1.长方体的对角线与共点三条棱之间的长度关系为d2＝a2＋b2＋c2；长方体外接球半径为R时，有(2R)2＝a2＋b2＋c2.166棱长为的正四面体内切球半径＝，外接球半径＝2.ar12aR4a.1.用平移法求异面直线所成角的一般步骤(1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角；(2)求角——转化为求一个三角形的内角；(3)结论——设由(2)求出的角的大小为θ，若0°<θ≤90°，则θ即为所求，若90°<θ<180°，则180°－θ即为所求.3.向量法求空间角直线，夹角有＝〈，〉其中，分别是直线，的方向向量(1)l1l2θcosθ|cosl1l2|(l1l2l1l2).(2)直线l与平面α的夹角θ有sinθ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量).若＝〈，〉，则－－二面角的平面角为或－其中，分别是平面，(3)cosθ|cosn1n2|αlβθπθ(n1n2αβ的法向量).二、真题再现1．如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点，则（）A．BMEN，且直线BM,EN是相交直线B．BMEN，且直线BM,EN是相交直线C．BMEN，且直线BM,EN是异面直线D．BMEN，且直线BM,EN是异面直线【答案】B【解析】2【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】如图所示，作EOCD于O，连接ON，过M作MFOD于F．连BF，Q平面CDE平面ABCD．EOCD,EO平面CDE，EO平面ABCD，MF平面ABCD，MFB与EON均为直角三角形．设正方形边长为2，易知EO3,ON1EN2，35MF,BF,BM7．BMEN，故选B．22【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角性．2．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A．86B．46C．26D．6【答案】D【解析】【分析】先证得PB平面PAC，再求得PAPBPC2，从而得PABC为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:QPAPBPC,ABC为边长为2的等边三角形，PABC为正三棱锥，3PBAC，又E，F分别为PA、AB中点，EF//PB，EFAC，又EFCE，CEIACC,EF平面PAC，PB平面PAC，APBPAPBPC2，PABC为正方体一部分，2R2226，即64466R,VR36，故选D．2338解法二:设PAPBPC2x，E,F分别为PA,AB中点，1EF//PB，且EFPBx，QABC为边长为2的等边三角形，21CF3又CEF90CE3x2,AEPAx2x243x2AEC中余弦定理cosEAC，作PDAC于D，QPAPC，22xAD1x243x21QD为AC中点，cosEAC，，PA2x4x2x4122x212x2x，PAPBPC2，又AB=BC=AC=2，PA,PB,PC两两2264466垂直，2R2226，R，VR36，故选D.2338【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定