第14讲空间向量与立体几何.doc

空间向量与立体几何考点透析空间向量与立体几何空间向量的概念A空间向量共线、共面的充分必要条件B空间向量的加法、减法及数乘运算B空间向量的坐标表示B空间向量的数量积B空间向量的共线与垂直B直线的方向向量与平面的法向量B知识整合1．本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用.对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离.2.空间向量的应用主要指能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用考点自测1．已知，，若，则；2．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有(x，y，z∈R)，则是四点P，A，B，C共面的条件3．已知向量，，，若，则与的夹角为4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则直线D1E，BC1所成角的余弦为典型例题高考热点一：空间向量的概念及性质例1．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底.其中正确的命题是高考热点二：空间向量的基本运算例2．如图：在平行六面体中，为与的交点.若，，，试用表示【分析】熟练运用向量的平行四边形法则和三角形法则例3．已知：且不共面.若∥,求的值.【分析】若∥,,且则高考热点三：数量积例4．（1）（2002上海文，理2）已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2－）·=_____.（2）设空间两个不同的单位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于.(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π.【分析】（2）运用向量夹角公式cos<，>=x1x2+y1y2高考热点四：空间向量的应用例5（2010南通市三模考试）如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点B，且．（1）求棱与BC所成的角的大小；（2）在棱上确定一点P，使，并求出二面角的平面角的余弦值．（例5）BACA1B1C1【分析】建立适当的空间坐标系，通过坐标运算求直线所成角，利用平面的法向量解决二面角问题高考热点五：空间向量知识的综合应用例6．如图，在正三棱柱A1B1C1—ABC中，D，E分别是棱BC、的中点，AB=AA1=2．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ）求二面角的大小；(Ⅲ）求异面直线与BE的距离．误区分析在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．证明：（Ⅰ）以AD的中点O为坐标原点，分别以AD、AD中垂线、VO为x、y、z轴建立空间直角坐标系，并设正方形边长为1，则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，），是面VAD的法向量，设是面VDB的法向量，则∴，所以面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值为随堂练习1．（2009安徽）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________.2．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝，则x＋y＋z＝．3．在正方体中，给出下面三个判断：①；②；③与的夹角为600；其中错误的序号是．4．若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则___________.5．（2009四川）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段、的中点分别为、，求证：∥6．EABCFE1A1B1C1D1D如图，在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA=2,E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点.（1）证明：直线EE//平面FCC；（2）求二面角B-FC-C的余弦值.学力测评1．已知点，且该点在三个坐标平面平面，平面，平面上的射影的坐标依次为，和，则那么下列说法正确的是(1)(2)(3)(4)以上结论都不对2．已知是空间二向量，若的夹角为3．已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2),B(4,－3,7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为4．已知,，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是5．空间四边形中,,,则<>的值是6．在正方体中，M，N分别为棱和之中点，则的值为7．若向量，则__________________.8．在正四面体PABC（四个面都是全等的等边三角形的四面体）中，若E、F分别在棱PC、AB上，且.异面直线PF与BE所成的角的余弦值9．在正方体中，求证:BD1⊥截面AB1C.10．（2010海安高级中学、南京外国语学校、南京