曲线与方程(预习学案).doc

《曲线与方程》知识点导学（阅读材料）
一、点、坐标、曲线与方程的关系
坐标系建立以后，平面上的点M与实数对建立了一一对应关系，点的运动形成了曲线C；与之对应的实数对的变化，就形成了方程。即

这样，在曲线与方程之间就形成了某种对应关系。这种对应关系表现为：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）。
曲线与方程建立了上述严格的对应关系后，两者就成为同一关系的两种不同表达形式。曲线的性质完全地反映在它的方程上；方程的性质又反映在它的曲线上。所以，我们就可以通过方程来研究曲线，也可以利用曲线来研究方程，这就是解析几何处理问题的基本思想——数与形的统一。
二、求曲线方程的五个基本步骤
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线C上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件的点M的集合；
（3）用坐标表示条件，列出方程；
（4）化方程为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C上的点。
以上五个步骤简记为：“设点、列式、代换、化简、证明”。
求曲线方程时，一般（2）、（5）可以省略。但要注意化简前后方程的解集的统一性。

三、探求曲线的方程的注意点
1、求曲线的方程要注意的问题
（1）适当建立坐标系。坐标系建立得适当，可使运算过程简单，所得的方程也比较简单，否则会大大增加运算的繁杂与难度。在实际解题过程中，应充分利用图形的几何特性。如中心对称图形，可利用它的对称中心作为坐标原点；轴对称图形，可以利用它的对称轴为坐标轴；条件中若有直角，可考虑将直角的两直角边作为坐标轴等。
（2）条件列出方程。根据曲线上的点所满足的条件列出方程是最重要的一环。应认真分析题设条件，综合利用平面几何的知识，列出几何等式，再利用解析几何的一些相关概念、公式、性质、定理等将几何等式坐标化，便得曲线的方程，还要将所得方程化简，使求得的方程是最简单的形式。
（3）证明。还应证明上面所求得的方程就是曲线的方程。课本上说“一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）（即证明）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明”。不能由此得“不需要证明”的印象，而仅仅是在同解变形的前提下，不要求证明。若化简过程不是方程的同解变形，就必须注意在变形过程中是产生了增根还是减根，并在所得的方程中加以删除或补充，此时也可不必写出证明过程。
2、在求解曲线的方程时经常会出现的问题是产生多解或是漏解的错误，在实际求解过程中要注意：
（1）注意动点所满足的某些隐含条件；
（2）注意方程变形的同解性；
（3）注意图形可能的不同位置或字母系数可能取不同值时的讨论等。
3、求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的。若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等。
四、实例分析
以下举几个实例加以分析，有别于课本给出的其他例题。
例1、下列哪组方程表示相同的曲线（）
A．与B．与
C．与D．与
分析：（A）和（D）中都是因为的取值范围不同，（B）中因为两个表达式不同，所以只有（C）是相同的，即所表示的曲线也相同。所以选（C）。
例2、方程表示的曲线是（）
A．一条直线和一双曲线B．两条直线C．两个点D．以上答案都不对
分析：由方程可得：
解得：或，即表示的曲线是两个点，即选（C）。
例3、设曲线C的方程为，直线的方程为，点P的坐标为，那么（）
A．点P在曲线C上，但不在直线上B．点P不在曲线C上，但在直线上
C．点P既在曲线C上，又在直线上D．点P既不在曲线C上，又不在直线上
分析：把点P的坐标为代入曲线C得：，代入直线得：，所以点P不在曲线C上，但在直线上，即选（B）。
例4、两曲线与交于两点，此两点间的距离是（）
A．小于B．等于C．等于2D．大于2
分析：联立可得：或
那么此两点间的距离为：，即选（B）。
例5、已知：两个定点A、B的距离为6，动点M到A、B距离的平方和为26，求点M的轨迹方程。
解：以线段AB的中点为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图）
（1）设M(x,y),A(-3,0),B(3,0)
∵|MA|2+|MB|2=26,∴(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26,即x2+y2=4.
（2）设是方程x2+y2=4的解，即x02+y02=4，其对应点为P(x0,y0)
|PA|2=(x0+3)2+y2=x02+6x0+9+y02=13+6x0.|PB|2=(x0-3)2+y02=x02-6x0+9+y02=13-6x0.
|PA|2+|PB|2=26即P(x0,y0)在曲线上，
由（1）（2）知，满足要求的曲线方程是x2+y2=4（证明过程可以省略）