中考数学专题存在性问题解题策略角的存在性处理策略.docx

第1讲角的存在性处理策略
知识必备
一、一线三等角
1.如图1-1-1，且，此为“一线三直角”全等，又称“K字型”全等;

图1-1-1图1-1-2图1-1-3图1-1-4
2.如图1-1-2，，此为“一线三直角”相似，又称“K字型”相似;
3.如图1-1-3，，此为更一般的“一线三等角”.
二、相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比；
相似三角形的对应线段成比例.
正切的定义
如图1-1-4，在中，，即的正切值等于的对边与的邻边之比；同理，，则，即互余两角的正切值互为倒数.
方法提炼
基本策略：联想构造
构造路线
方式(一)：构造“一线三等角”
o角构等腰直角三角形造“一线三直角”全等，如图1-2-1；

图1-2-1
o角构直角三角形造“一线三直角”相似，如图1-2-2；

图1-2-2
3.tanα=k→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-3；

图1-2-3

4.“一线三等角”的应用分三重境界；
一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1-2-4所示的“同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的“异侧型一线三等角”；
二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题；
三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6及图1-2-7所示；
图1-2-7
图1-2-6
图1-2-5
图1-2-4

方式
（二）：构造“母子型相似”
“角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似”，其核心结构如图1-2-8所示.

图1-2-8

方式（三）：整体旋转法（*）
前两种构造属静态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法，其核心思想是“图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动）；反过来，点的旋转（运动）可以看成该点所在图形的旋转（运动）”.
下面以三个问题说明此法：
问题1已知点A（3，4），将点A绕原点O顺时针方向旋转45º角，求其对应点A’的坐标.
简析第一步（“整体旋转”）：如图1-2-9，作AB⊥y轴于点B，则AB=3，OB=4，点A绕原点O顺时针方向旋转45º得到点A’，可看成Rt△OAB绕原点O顺时针方向旋转45º得到Rt△OA’B‘，则A’B’=8，OB’=4，且∠BOB’=45º；

图1-2-9

第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-10,依托旋转后的Rt△,作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt△Rt△；
图1-2-10

事实上,Rt△与Rt△都是等腰直角三角形,于是有==,
==,故点的坐标为；
问题2已知点,将点绕原点顺时针方向旋转角,其中=,求其对应点的坐标.
简析第一步（“整体旋转”）：如图1-2-11,作AB⊥y轴于点B,则AB=4,OB=6,将Rt△OAB绕原点O顺时针方向旋转角得到Rt△,则=4,=6,
且∠==；
图1-2-12
图1-2-11

第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-12,依托旋转后的Rt△,作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt△Rt△，
于是有=,=,=,=,故点的坐标为.
问题3已知点,将点绕原点顺时针方向旋转角,求其对应点的坐标.
简析不是一般性，不妨都在第一象限内思考问题：
第一步（“整体旋转”）：如图1-2-13,作AB⊥y轴于点B,则AB=,OB=,将Rt△OAB绕原点O顺时针方向旋转角得到Rt△,则=,=,且∠=；
图1-2-14

图1-2-13

第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-14,依托旋转后的Rt△,作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt△Rt△，
于是有=,=,=,=,
故点的坐标为.
例1(2017•日照)如图1-3-1，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB=∠OBA=45°，则k的值为_______。

简析由题可知，△OAB为等腰直角三角形；
如图1-3-2，构造“一线三直角”结构，即Rt△OAD≌Rt△ABC；
设OD=AC=t，则A(，t)，B(，)，从而有t=()()，解得；
因此有。
反思：见等腰直角三角形，造“一线三直角”，即“K字型”全等。
例2如图1-3-3，已知反比例函数的图像经过点A(3，4)，在该图像上找一点P，使∠POA=45°，则点P的坐标为_______。

简析1（构造“一线三直角”）：如图1-3-4，作AB⊥OA交OP于点B，则△OAB为等腰直角三角形；
再造“一线三直角”结构，即Rt△OAD≌Rt△ABC，由A(3,4)，可得OD=AC=4，AD=BC=3，则B(7,1)，故直