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同余及其应用
定义：如果a,b都是整数，m是给定的正整数，当m|(a-b)时，称a
与b关于模m同余，记作a≡b(modm)
显然，a≡b(modm)m|(a-b)a=mq+b(q为整数)
基本性质：
定理1：同余关系满足如下运算律：
⑴a≡a(modm)(自反律)
⑵a≡b(modm)b≡a(对称律
⑶若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm)（传递律）
定理2：若a1≡b1(modm)且a2≡b2(modm)，则a1±a2≡b1±b2,a1a2≡b1b2(modm).
推论：若a≡b(modm),c为整数，则有：
①a+c≡b+c(modm)②a≡b+cm(modm)
③ac≡bc(modm)④≡(modm)(n为整数)
定理3：若ac≡bc(modm),(c,m)=d，则a≡b(mod)
推论：若ac≡bc(modm),(c,m)=1，则a≡b(modm)
重要结论：整数的幂的个位数特征
一般地，自然数的n次幂的个位数随的变化成周期性变化，其规律如下：
⑴的个位数分别为1,5,6,0。
⑵的个位数字，当为奇数时为4，当为偶数时为6
⑶的个位数字，当为奇数时为9，当为偶数时为1
⑷的个位数字随的变化一为周期进行，它们的变化列表如下
自然数的幂n=4kn=4k+1n=4k+2n=4k+3的个位数
6
2
4
8的个位数
1
3
9
7的个位数
1
7
9
3的个位数
6
8
4
2

例1：求的最后两位数码。
解：此例相当于求除以100所得的余数。
∵≡4096≡-4（mod100)
∴≡
.≡≡-≡-≡-≡-≡-
≡-≡-≡-512≡88（mod100)
∴的最后两位数码为88.

例2：自然数m除13511,13903,14589,的余数相同，m的最大值为多少？
解：由已知得13511≡13903≡14589（modm)
∴m|(13903-13511),m|(14589-13903),m|(14589-13511)
即m|,m|,m|
∴m的最大值为（，，）=98.
例3：试证=没有都是质数的整数解。
证明：假设x=a,y=b,z=c都是质数解
若a=2，由-=得(c-b)(c+b)=4
∴c+b=4,c-b=1
∴c=,这不可能。
于是a,b都是奇数，从而有：≡1(mod4),≡1(mod4)
∴+≡2≡(mod4),于是2|c
又c>2∴c为合数，这与c为质数矛盾.
综上知，不能a.b.c都是质数.
例4：设n是正整数，且+1085是3的正整数次幂，则n的值为______
解：填74，理由余下
∵的个位数字只能是0,1,4,5,6,9
∴+1085的个位数字只能是5,6,9,0,1,4
设+1085=（m为正整数）
∵的个位数字只能是1,3,7,9.
∴m=2k(k为正整数)，从而得+1085=
∴-=1085∴（+n）（-n）=1х5х7х31
∴或或或
上述方程组只有一组有满足条件的整数解
故横线上应填74.