初中数学竞赛-数论-同余及其应用.docx

PAGE\*MERGEFORMAT16初中数学竞赛课程《同余及其应用》.学生版./NUMPAGES11中考考纲考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用同余的概念和性质同余的概念√同余的性质√同余在整除中的应用√运用同余求解余数问题√费马小定理及应用√知识架构同余的概念同余及其应用同余的性质同余在整除中的应用运用同余求解余数问题费马小定理及其应用模块一：同余的概念和性质知识精讲一、同余的概念定义：设，是两个整数，如果和被正整数除所得余数相同，则称与对于模同余，记作：，否则，就称与对于模不同余，记作由定义得到的同余的反射性，对称性，传递性：反射性：对称性：传递性：注意：根据定义，与是否同余，不仅与，有关，还与模有关.同一对数和，对于模同余，而对于模也许就不同余了.二、同余的性质同余的性质：性质1：等价于（1）；（2）存在整数，使得性质2：若，，则，；若，则；更一般地，若，，则性质3：（1）若，则；（2）若，且，则，特别地，若，则性质4：（1）且，特别地，若，则且（2）若，则例题解析如果，则下列命题正确的有哪些？请说明理由.（1）（2）（3），（）如果且，那么以下同余式一定成立的是哪些？由下面的哪些同余式可以得到同余式判断正误，并说明理由.如果，那么如果，是整数，那么.如果，，那么，.如果，那么模块二：同余的应用知识精讲运用同余处理整除性问题运用同余求解余数问题运用同余求解其他问题例题解析（1）求证：（2）求证：求证：，为整数.求证：不能被整除已知是正整数，证明：已知是任意的正整数，且，求正整数的最大值.若，都是正整数，且，求证：已知为自然数，则被除的余数是多少？求除以的余数.已知，则除以余数是多少？求化为进制数后的个位数字是一个十进制整数：（，，）求证：若，则有圆周上排列着五个方格,其中一个方格中有1枚棋子,棋子按逆时针方向绕圆周移动;第一次移动一个格,第二次移动两个格,,第次移动个格,试问:棋子在移动过程中能到达哪几个方格?十进制中,的数字和为,的数字和为,的数字和为,求.模块三：费马小定理及其应用知识精讲一、费马小定理设为质数，，则由费马小定理可以得到，对于任意正整数，；费马小定理的逆定理不成立，这就是说，当时，不一定是质数费马小定理经常与下面的定理配合使用定理：设是满足的所有正整数中的最小数，则证明：设，，因为，所以于是由的最小性知，，因此，证毕.例题解析今天是星期天，再过天后是星期几？设是质数，且.求证：证明：对任意正整数，都不能被整除求证：对任意整数，，都能被整除试求所有能使被整除的质数.试证明：对于每一个质数，总存在无穷多个正整数，使得能被整除设为整数，求证：已知，是两个不同的质数，求除以的余数.随堂练习若三个大于的质数，，满足关系式，试求最大的正整数使已知为不超过的正整数，使得对任意正整数，都能被整除，则这样的正整数有多少个？从的末位数字起，每三位看做一个数，这些数依次记为，，，（，，，都是三位数，而可能不足三位）.令，求证：被整除，当且仅当被整除已知（）能整除，则的最大值是多少？设是质数，是的质因数，证明：求的最后两位数字.课后作业求证：连续三个正整数的立方和为的倍数.设，是正整数，且，求证：，中恰有一个是的倍数.证明：一个正整数除以所得的余数等于其各位数字之和除以所得的余数.求被除的余数.求除所得的余数.设，，，，为正整数，且满足，，，.证明：