浅谈同余及其应用.doc

11揭阳职业技术学院毕业论文（设计）题目：浅谈同余定理及其应用学生姓名黄指导教师某某某系（部）师范教育系专业数学教育班级999班学号11211211提交日期200年月日答辩日期200年月日200年月日浅谈同余定理及其应用摘要初等数论是研究数的规律特别是整数性质的数学分支。它以算术方法为主要研究方法在日常生活中我们所要注意的常常不是某些整数而是这些数用某一固定的数去除所得的余数。同余理论是初等数论中的重要内容之一其性质及应用研究已引起许多学者的关注。本文归纳总结了同余的若干性质结合实例探究了同余性质在检验、判断整除问题、求余数、判断合数、韩信点兵问题等方面的具体应用。体现了用同余性质解决问题的简洁性。关键词：同余整除余式方程绪论初等数论是研究整数性质的一门学科它是数学中最古老的分支之一内容极为丰富曾被数学家说成是数学的皇后。同余问题在当今中小学乃至大学的数学教学中都有涉及它作为初等数论的核心内容之一具有很强的应用价值很多数学问题都要借助同余理论来解决。同余的应用问题分为很多种类型每种类型的题目又有一定的解题技巧。掌握了这些题型的技巧可以提高大家解决问题的能力。本文基于对同余理论的理解将应用同余理论解决的问题具体整理分类从中分析出一些借助同余理论解题的技巧与规律。现在初等数论中关于同余的内容主要包括：同余的定义及基本性质、剩余类与剩余系、欧拉定理、费马小定理、循环小数、一次同余方程及一次同余方程组。到目前为止古今中外很多学者与数学家对同余的应用问题都有了一定的研究。在中国早在宋代大数学家秦九韶所著的《数书九章》中就记载了求解同余方程的“大衍求一术”。还有著名的古代数学著作《孙子算经》中也记载能解决“物不知其数”问题的孙子定理也被称作“中国剩余定理”。以及“韩信点兵”问题的研究都为解决一次同余方程和同余方程组的问题带来了便利。在西方除了高斯引入同余的概念之外欧拉和费马提出的定理也为解决同余的相关问题做出了重要的贡献。希望通过本文的研究能将同余理论的应用问题更加系统全面的展现出来。以便今后大家在探究同余理论时能对同余应用问题的类型和解决技巧有一个清晰的认识和理解更好的解决相关问题。1相关性质定理[1]性质1同余是一种等价关系即有：（1）反身性a≡a（modm）.（2）对称性若a≡b（modm）则b≡a（modm）.（3）传递性若a≡b（modm）b≡c（modm）则a≡c（modm）.性质2同余式可以相加减即若a≡b（modm）c≡d（modm）则(1)a＋c≡b＋d（modm）.(2)a－c≡b－d（modm）.性质3同余式可以相乘即有：(1)若a≡b（modm）c为自然数则ac≡bc（modm）.(2)若a≡b（modm）c≡d（modm）则ac≡bd（modm）.(3)若a≡b（modm）n≥2则an≡bn（modm）.性质4若ac≡bc（modm）且（cm）=1则有a≡b（modm）.（其中（cm）表示c与m的最大公约数）。定理1整数ab对模m同余的充分与必要条件是m∣a－b即a＝b＋mt.(t是整数.)定理2设a＝…则＝a(1－)(1－)…(1－)定理3(Euler)设m是大于1的整数(am)=1则a≡1（modm）其中为欧拉函数定理4(Fermat)若p是素数则ap≡a（modp）..证明以上三个定理:定理1证明:设a=mq1＋r1b=mq2＋r20≤r1＜m0≤r2＜m若a≡b（modm）则r1=r2因此a－b=m﹙q1－q2﹚.反之若m|a－b则m|m﹙q1－q2﹚＋﹙r1－r2﹚因此m|r1－r2.又|r1－r2|＜m故r1=r2定理3证明:设a1a2…a是modm的一个简化剩余系且（am）=1aa1aa2…aa也是modm的一个简化剩余系.a1a2