立体几何解题的障碍分析.doc

立体几何解题的障碍分析
文/董裕华
一、解立体几何题的思维障碍的特征
1.思维过程的肤浅性
在学习立体几何的过程中，有些同学对数学概念和数学原理的发生、发展过程没有深刻的理解.不能脱离具体表象而形成抽象的概念，自然也就无法摆脱局部事实的片面性而把握住事物的本质.
例1在空间四边形中，互相垂直的边最多有
A.1对B.2对C.3对D.4对
思维障碍误将空间四边形理解成四面体，对“空间四边形”理解不够深刻.
突破之道吃透基本概念、弄清基本原理、理顺基本关系，是解基础题的前提.
解析空间四边形只有四条边，只需讨论这四条边的位置关系即可.本题答案为C.
2.思维程序的呆板性
A
B
C
D
O

在分析和解决数学问题时，往往只顺着事物的发展过程去思考问题，注重由因到果，而不注重变换思维的方式，缺乏沿着多方面去探索解决问题的途径和方法.
例2如图1所示，已知平行六面体
的底面是菱形，且.
当的值为多少时，能使？请给出证明.
思维障碍不能从结论出发，寻求解决问题的途径；错
乱逻辑关系，误把当作条件来使用.
突破之道立体几何中的探索性问题一般都是条件开放
性的探究问题，常采用执果索因法来求解，即先假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件，从而运用方程的思想或向量的方法将其转化为代数问题来解决.如果找到了符合题目结果要求的条件，则结果存在；如果找不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则结果不存在.这类问题如果用空间向量的方法求解，只需通过坐标运算进行判断，在解题过程中把“是否存在的问题”转化为求点的坐标或在规定范围内是否有解等问题，从而使原问题简单而有效地得到解决.
解析(解法一)由于，因此可先考查三棱锥.从结论出发，容易发现只要这个三棱锥为正四面体即可，从而猜想到，然后再设法进行证明.
如图1，设，连接.是菱形，.
又，，故.
，.
当时，平行六面体的六个面是全等的菱形，将1作为下底面时同理可得..所以当时，能使.
(解法二)从结论出发，利用空间向量的几何运算法则来求解.
据题意平行六面体的底面是菱形，且，设，，则，.
要使，则只需，即
也就是整理得.
所以当，即时，能使.
3.思维方式的差异性
由于每个学生的数学基础不尽相同，其思维方式也各有特点，这就容易形成不同学生对同一个数学问题有不同的认识和感受，从而导致学生对数学知识在理解上的偏颇.比如，有的学生在解决数学问题时，不太注意挖掘所研究问题中的隐含条件，抓不住问题中的确定条件，从而影响了问题的解决；有的同学不知道以所学的数学概念和方法为依据进行分析与推理，对一些问题中的结论缺乏多角度的分析和判断，缺乏对自我思维进程的调控，从而产生了思维障碍.
例3在正方体AC1中，过它的任意两条棱作平面，其中与A1B成300角的平面有
A.2个B.4个C.6个D.8个
思维障碍过正方体的任意两条棱不一定都能作平面.有些同学对共面条件的认识比较模糊，主要靠瞎猜来碰运气，未能形成正确的思维方向.
突破之道首先要搞清楚在什么情况下正方体的两条棱可以确定一个平面.
解析在正方体AC1中，有6个面和6个对角面，其中6个面不符合题目要求，而6个对角面中只有4个面符合题目要求.本题答案为B.
例4如图2，在三棱锥中，A
C
B
D
侧面是
全等的直角三角形，是公共的斜边，且
另一个侧面是正三角形，在线段上是否存在一点，使
成角.若存在，请确定的位置；若不存在，请说
明理由.
思维障碍已知图形给人的感觉比较别扭，作辅助线难以实施，
思维难以深入.
A
C
B
D
E
M
N
G
H
O
F
突破之道结合图形特征及所给数据，可以把三棱锥
补成以为棱的正方体HCDB—AMNG，如图3所示.借助正方体模型，
可以使我们对题意及图形有较透彻的理解，也容易找到与平面
所成的角.
解析由题设，取的中点为，连接，则
.
，..
作交的延长线于，则平面平面
于是得.
在Rt中，.
在中，.
在中，，.
故在中，.
设，作，则可得就是所成的角.由得.
在中，.
要使成角，则只需，即.
故当时，成角.
4.思维定势的消极性
在平时的学习中，我们已经积累了相当丰富的解题经验，但是有时我们却容易造成思维僵化，常常抑制了更合理、有效的思维甚至会造成歪曲的认识.有些同学往往对自己的某些想法深信不疑，不愿放弃一些陈旧的解题经验，不能根据新的问题的特点做出灵活的反应.
例5一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放进一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能到达的空间的体积为.
思维障碍有的同学认为不能到达部分的体积之和正好等于内切球的体积，有的同学则在计算边缘处的体积时多算或少算了部分体积.
突破之道按照顶点和棱的顺序，逐个击破.
解析在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间体积为
.除此之外，在正方体