二次函数的性质与图像(一).doc

经棚一中数学组

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2.2.2二次函数的性质与图像(一)
教学目标：研究二次函数的性质与图像
教学重点：进一步巩固研究函数和利用函数的方法
教学过程：
函数叫做二次函数，利用多媒体演示参数、、的变化对函数图像的影响，着重演示对函数图像的影响。
通过以下几方面研究函数
（1）、配方
（2）、求函数图像与坐标轴的交点
（3）、函数的对称性质
（4）、函数的单调性
例：研究函数的图像与性质
解：（1）配方
所以函数的图像可以看作是由经一系列变换得到的，具体地说：先将上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将所得的图像向左移动4个单位，向下移动2个单位得到.
（2）函数与x轴的交点是（-6，0）和（-2，0），与y轴的交点是（0，6）
（3）函数的对称轴是x=-4,事实上如果一个函数满足：（），那么函数关于对称.
（4）设，，
==
=
因为，
所以
所以函数在上是减函数
同理函数在上是增函数。
例1.研究函数f(x)=－x2－4x+3的图像与性质.
（1）配方得f(x)=－(x+2)2+7.
由－(x+2)2≤0得，该函数对任意实数x都有f(x)≤7，当且仅当x=－2时取等号，即f(－2)=7。这说明函数f(x)在x=－2时取得最大值7，记为ymax=7，所以函数图象的顶点时(－2，7).
(2)求函数图象与x轴的交点.
令－x2－4x+3=0，解得x1=－2+，x2=－2－，说明函数的图象与x轴的交点坐标是(－2+,0)，(－2－,0).
(3)画函数f(x)=－x2－4x+3的图象.
因为f(x)=－(x+2)2+7.所以它的图象是由
y=－x2的图象向左平移2个单位后，再向上平移7个单位得到.
(4)函数f(x)=－(x+2)2+7关于直线x=－2成轴对称图形，
在区间(－∞，－2]上是增函数，在区间[－2，+∞)上是减函数.（解的过程同上题）
5、二次函数的性质：
一般地，对于二次函数f(x)=ax2+bx+c，都可以通过配方化为

其中
（1）函数的图象是一条抛物线，抛物线的顶点坐标是(h，k)，抛物线的对称轴是直线x=h；
（2）当a>0时，抛物线开口向上，在x=h处取最小值ymin=k=f(h)；在区间(－∞,h]上是减函数，在[h,+∞)上是增函数.
（3）当a<0时，抛物线开口向下，在x=h处取最大值ymax=k=f(h)；在区间(－∞,h]上是增函数，在[h,+∞)上是减函数.
6.求函数y=x2+2x+1的值域和它的图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？
解：因为函数y=3x2+2x+1=3(x+)2+,
所以ymin=f(－)=.函数的值域是[,+∞).函数的对称轴是x=－
它在区间(－∞,－]上是减函数，在区间[－,+∞)上是增函数。

课堂练习：教材练习A-2、（1）
小结：通过本节课的学习应明确应该从那几个方面研究二次函数.
课后作业：教材练习A-2、（2），教材练习B-1