函数图象的性质及其应用.doc

函数y=ax+图像性质及其应用的教学设计

广东省中山市华侨中学杨树春

设计思想:前后贯穿系统化,相关知识结构一体化,滚动式.
原则:由浅入深,循序渐进.利用现代信息技术，但不唯信息技术而论；
知识要点：1.运用函数y=ax+及y=ax2+的图像性质去判断函数的单调性及划分函数y=ax+的单调区间，并用函数单调性定义加以证明。
2.运用上述函数的性质解决相关的一次分式函数与二次分式函数的单调区间及函数值域问题,进一步求二次分式函数在给定区间上的最值.
一.知识网络:函数y=ax+的图像及其性质
a的情况b的情况图像奇偶性单调性最值情况
a>0
b=0
奇函数
增
无
a<0
b=0
奇函数
减
无
a=0
b>0
奇函数(-∞,0)减
(0,+∞)减
无

a=0

b<0
奇函数
(-∞,0)增
(0,+∞)增

无

a>0

b>0

奇函数(-∞-]增,[-,0)减
(0,]减[,+∞)增当x=时,y最小=2,当x=-时,y最大=-2

a>0

b<0

奇函数

(-∞,0)增
(0,+∞)增

无

a<0

b>0

奇函数

(-∞,0)减
(0,+∞)减

无

a<0

b<0

奇函数(-∞-]减,[-,0)增
(0,]增[,+∞)减当x=时,y最大=2,当x=-时,y最小=-2二、方法概括:数形结合、分类讨论、观察猜证、类比合情推理、归纳概括及利用函数单调性求最值等。
三、精典问题回顾:
基础知识复习:
1.函数y=(x<0)的最大值为.
2.函数y=(1≤x≤6)的最大值为.最小值为,
3.函数y=(x>0)的最小值为.
4.当x>0时,y=3-3x-的最大值是.
典型例题:
求函数y=的单调区间及值域.
解:y===3+
由图可知:函数y=可以看作是由y=向右移动2个单位后再向上移动3个单位而得到的.所以函数在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,函数的值域为(-∞,3)(3,+∞).
例2.求函数y=的单调区间及函数的值域。
解：y==
=3(x-3)+4+
由图可知:函数y=可以看作是y=3x+分别向右与向上移动3个单位与4个单位后而得到的.所以函数在(-∞,3-)与(3+,+∞)均为增函数,在(3-,3)与(3,3+)均为减函数,函数的值域为(-∞,-6]与[6,+∞).
例3.某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台。现销售给A地10
台，B地8台。已知从甲地调动1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的费用分别为300元和500元。
设从乙地调运台至A地，求总费用关于x的函数关系式；
若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案；
求出总运费最低的调运方案及最低的费用。
解：由甲、乙两地调运至A、B两地的机器台数及费用（元）如下表：

调出地
甲地
乙地
调至地
A地
B地
A地
B地
台数

每台运费
400
800
300
500
运费合计

(1)依题意得

即
（2）由，解得。
所以共有三种调运方案。
（3）由一次函数的单调性知，当时，总运费最低，元。
即从乙地调6台给B地，甲地调10台给A地，调2台给B地的调运方案的总运费最
低，最低运费为8600元。
说明：本题数量关系较多，利用列表法将数量关系明朗化，有利于函数关系的准确建立。
例4.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/小时）的平方成正比，且比例系数为；固定部分为元。
（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解：因全程运输成本由两部分组成，所以就是两部分的和，第（2）问就是当为何值时，最小。
由题意，得，即.
对任意的，且，易得
。=1\*GB3①
由=1\*GB3①知，当2≤时，有，即函数在（0，]单调递减；而当时，，即函数在时单调递增.图形验证:
由此可知，当时，在时取最小值；当时，由于在（0，]上单调递减，从而当且仅当v=c时，取得最小值。
综上所述，可知要使全程运输成本最小，则当<c时，行驶速度v=；当≥c时，行驶速度。
评注（2）此题也可改为：船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船的航行速度的立方成正比，然后求解。
解:(略)
例5.设函数f(x)=ax满足条件:当x时,f(x)>1,当x,不等式
f(3mx-1)>f(1+mx-x2)>f(m+2)恒成立,求实数m的取值范围.
解:∵当x时,f(x)>1,即当x时,ax>1,∴0<a<1,
又∵f(3mx-1)>f