利用导数求函数的单调区间、极值和最值.pdf

精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号____________________学员编号：年级：课时数及课时进度：3〔3/60〕学员：辅导科目：学科教师：学科组长/带头人签名及日期课题利用导数学求函数单调区间、极值和最值授课时间：备课时间：1、能熟练运用导数求函数单调区间、判定函数单调性；教学目标2、能用导数求函数的极值和最值。重点、难点考点及考试要求教学内容一、利用导数判定函数的单调性并求函数的单调区间1.定义：一般地，设函数yf(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内f'(x)0，那么函数yf(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内f'(x)0，那么函数yf(x)在为这个区间内的减函数.2.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f'(x).②令f'(x)0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f'(x)0解不等式，得x的范围，就是递减区间.例14、.x＞0时，证明不等式：12xe2x.二、利用导数求函数的极值仅供学习参考1、极大值一般地，设函数f(x)在点x附近有定义，如果对x附近的所有的点，都有f(x)f(x)，就说f(x)是函数的一0000个极大值，记作yfx，x是极大值点极大值002、极小值一般地，设函数f(x)在x附近有定义，如果对x附近的所有的点，都有f(x)f(x)就说f(x)是函数f(x)0000的一个极小值，记作yfx，x是极小值点极小值003、极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：〔ⅰ〕极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比拟是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.〔ⅱ〕函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.〔ⅲ〕极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如以下图所示，x是极大值1点，x是极小值点，而f(x)f(x).441〔ⅳ〕函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点yf(x5)f(x3)f(x1)f(x4)axxOxxbx12x345f(b)f(x2)f(a)4、判别fx是极大、极小值的方法:0假设x满足f'(x)0，且在x的两侧f(x)的导数异号，那么x是f(x)的极值点，fx是极值，并且如果f'(x)00000在x两侧满足“左正右负〞，那么x是f(x)的极大值点，fx是极大值；如果f'(x)在x两侧满足“左负右正〞，0000那么x是f(x)的极小值点，fx是极小值005、求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f'(x)(2)求方程f'(x)0的根仅供学习参考'(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值1例16、求yx34x4的极值.31例17、函数f(x)asinxsin3x在x处具有极值，求a的值.33例18、yalnxbx2x在x1和x2处有极值，求a、b的值例10、函数f(x)x33ax29a2xa3（1）设a1，求函数f(x)的极值；1'〔2〕a，且当a1,4a时，f(x)12a恒成立，试确定a的取值范围。4例11、函数f(x)x4ax32x2b(xR)，其中a,bR。仅供学习参考10〔1〕当a时，讨论函数f(x)的单调性；3〔2〕假设函数f(x)在x10处有极值，求a的取值范围；〔3〕假设对于任意的a2,2，不等式f(x)1在1,1上恒成立，求b的取值范围。x例19、确定函数y的单调区间，并求函数的极大、极小值.x2113x例20、求函数y的极值与极值点.45x2例21、求函数yx2lnx的极值.三、利用导数求函数的最大值与最小值1、函数的最大值和最小值仅供学习参考观察图中一个定义在闭区间a,b上的函数f(x)的图象．图中f(x)与f(x)是极小值，f(x)是极大值．函数132f(x)在a,b上的最大值是f(b)，最小值是f(x)．1一般地，在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值．1说明：⑴在开区间a,b内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．如函数f(x)在0,内连续，但没有最大x值与最小值；⑵函数的最值是比拟整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比拟极值点附近函数