张晓桐VAR模型与协整.pdf

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VAR模型与协整

张晓峒
南开大学经济学院
天津300071
[e-mail]

1.VAR（向量自回归）模型定义
2.VAR模型的特点
3.VAR模型稳定的条件
4.VAR模型的分解
5.VAR模型滞后期的选择
6.脉冲响应函数和方差分解
7.格兰杰（Granger）非因果性检验
8.VAR模型与协整
9.VAR模型中协整向量的估计与检验
10.案例分析

1980年Sims提出向量自回归模型（vectorautoregressive
model）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论
为基础。在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内
生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关

系。

1.VAR（向量自回归）模型定义

以两个变量y1t，y2t滞后1期的VAR模型为例，

y1,t=c1+π11.1y1,t-1+π12.1y2,t-1+u1t

y2,t=c2+π21.1y1,t-1+π22.1y2,t-1+u2t

2
其中u1t,u2t∼IID(0,σ),Cov(u1t,u2t)=0。写成矩阵形式是，

⎡y1t⎤⎡⎤c1⎡π11.1π12.1⎤⎡y1,t−1⎤⎡u1t⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢y⎥=⎢⎥+ππy+⎢u⎥
⎣2t⎦⎣⎦c2⎣21.122.1⎦⎣2,t−1⎦⎣2t⎦

⎡y1t⎤⎡⎤c1⎡π11.1π12.1⎤⎡u1t⎤
⎢⎥⎢⎥
设Yt=y,c=⎢⎥,Π1=⎢ππ⎥,ut=u,
⎣2t⎦⎣⎦c2⎣21.122.1⎦⎣2t⎦

则，Yt=c+Π1Yt-1+ut(13.)

含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下：

Yt=c+Π1Yt-1+Π2Yt-2+…+ΠkYt-k+ut,ut∼IID(0,Ω)

其中，Yt=(y1,ty2,t…yN,t)'，c=(c1c2…cN)'

⎡π11.jπ12.jΛπ1N.j⎤
⎢⎥
⎢π21.jπ22.jΛπ2N.j⎥
⎢ΜΜΟΜ⎥
Πj=⎢⎥,j=1,2,…,k
⎣⎢πN1.jπN2.jΛπNN.j⎦⎥

ut=(u1tu2,t…uNt)',

不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。

因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与ut是
渐近不相关的，所以可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的参数估计

量都具有一致性。

2.VAR模型的特点
（1）不以严格的经济理论为依据。
（2）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量。
（3）VAR模型对参数不施加零约束。
（4）VAR模型有相当多的参数需要估计。
（5）VAR模型预测方便、准确（附图）。
（6）可做格兰杰检验、脉冲响应分析、方差分析。
（7）西姆斯（Sims）认为VAR模型中的全部变量都是内
生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也
可以作为外生变量加入VAR模型。

附：

120120
PHOPHOhatPHOPHOF

100100

8080

6060

4040

2020
808182838485868788808182838485868788

图1油价与静态拟合值图2油价与静态拟合值

3.VAR模型稳定的条件
对于VAR(1)，

Yt=c+Π1Yt-1+ut

模型稳定的条件是特征方程|Π1-λI|=0的根都在单位圆以内，或相反的特

征方程|I–LΠ1|=0的根都要在单位圆以外。
对于k>1的VAR(k)模型可以通过矩阵变换改写成分块矩阵的VAR(1)

模型形式。

Yt=C+AYt-1+Ut
模型稳定的条件是特征方程|A-λI|=0的根都在单位圆以内，或其相反的
特征方程|I-LA|=0的全部根都在单位圆以外。

附：矩阵变换。给出k阶VAR模型，

Yt=c+Π1Yt-1+Π2Yt-2+…+ΠkYt-k+ut
再配上如下等式，

Yt-1=Yt-1

Yt-2=Yt-2
…

Yt-k+1=Yt-k+1
把以上k个等式写成分块矩阵形式，
⎡ΠΠΠΠΛ⎤
⎡Yt⎤⎡⎤c12k−1k⎡Yt−1⎤⎡