3 经典线性回归模型II.pdf

第三章经典线性回归模型：
计量检验

一、概述
二、广义最小二乘法（GLS）
三、异方差性
四、序列相关性
五、多重共线性
六、模型设定偏误问题
§3.13.1概述
线性模型的最小二乘估计（OLS估计）具有良好的统计
性质，但它是建立在若干较强假设基础上的，我们称之为经
典假设。在这些假设不存在时，OLS估计往往会带来不良的
后果。

线性模型的经典假设包括三类：
第一类，关于随机扰动项ε的假设，即球形假设
Var(ε|X)=E(εε’|X)=σ2I

具体说来，扰动项需满足“同方差”、“无自相关”性质:
22
E(εt|X)=σ>0,t=1,2,…,n

E(εtεj|X)=0,t,j=1,2,…,n；t≠j

第二类，关于解释变量X的假设，即X’X的非奇异性:
(X’X)-1存在
第三类，关于解释变量X与随机扰动项ε的联合假设，即
X是严格外生的：

E(εt|X)=E(εt|X1,X2,…Xn)=0,(t=1,2,…n)

如果这三类经典假设不被满足，OLS估计量的优良统计性
质将不复存在。这时，应寻找更好的估计方法，或对OLS
法进行改良。
另外，在我们进行OLS估计时，还有暗含着一个重要的假
定，这就是：
模型是正确设定的
该假设是任何计量分析的前提，即无论采用什么方法估计
模型，都需要模型本身设定是没有偏误的（理论上设定了正确
的“数据生成过程”），否则任何估计都不可能是一个好的估计。
模型设定偏误包括两个方面：
一是模型变量设定偏误，包括遗漏相关变量和多选无关
变量

二是模型函数设定偏误

本章主要讨论如何检验上述假设是否成立，如果不成立时
OLS估计会产生哪些不良后果，并讨论如果解决这些问题的
一些方法。
§3.13.1模型设定问题

一、解释变量的选取
二、函数形式的误设
一、解释变量的选取

选取合适的解释变量是建立回归模型的第一步。如果
解释变量选取不当，模型的设定就不可能正确。
在变量选取时，往往会出现两种类型的问题：
1、遗漏相关变量；
2、多选无关变量。

当出现这两类问题时，对模型的估计会带来怎样的影响
呢？我们首先考察这两类问题。
当然，变量的选择需要依赖于已有的经济理论与先验
知识，当有两个并行的理论来解释同一经济现象时，我们
还会做出怎样的选择呢？
1、遗漏相关变量问题

假设有如下两模型：

Y=X1β1+X2β2+ε1(1)

Y=X1β1+ε2(2)
其中，
(X1)n×k1=(X1,…,Xk1),(X2)n×(K-k1)=(Xk1+1,…,XK)
，
β1=(β1,…,βk1)’β2=(βk1+1,…,βK)’

显然，(2)为(1)的受约束模型。约束条件为：H0：β2=0

Question:受约束模型与无约束模型在X1前的参数
估计量相等吗？
记受约束模型Y=X1β1+ε2的OLS解为
-1
br=(X1’X1)X1’Y

则对无约束模型有：
正规方程组
Y=X1b1+X2b2+e1且X1’e1=0,X2’e1=0
-1-1
于是br=(X1’X1)X1’Y=(X1’X1)X1’[X1b1+X2b2+e1]
-1-1
=b1+(X1’X1)X1’X2b2+(X1’X1)X1’e1
-1
=b1+[(X1’X1)X1’X2]b2=b1+Q1b2
-1
其中，Q1=(X1’X1)X1’X2

因此，只有当b2=0或X1与X2正交时，才有br=b1
因此，如果无约束模型是正确设定的模型，则只有当

β2=0或X1与X2正交时，才有E(br|X1)=β1

proof：将无约束模型Y=X1β1+X2β2+ε1代入受约束
-1
模型Y=X1β1+ε2的OLS解br=(X1’X1)X1’Y，可得

-1
br=(X1’X1)X1’(X1β1+X2β2+ε1)

-1-1
=β1+(X1’X1)X1’X2β2+(X1’X1)X1’ε1
-1
于是：E(br|X1)=β1+Q1β2+(X1’X1)X1’E(ε1|X1)

=β1+Q1β2
-1
这里：Q1=(X1’X1)X1’X2

因此，只有当β2=0或X1与X2正交时，才有E(br|X1)=β1
方差有何差异？

受约束模型的方差：
2-1
Var(br|X1)=σ(X1’X1)

由br=b1+Q1b2

得b1=br-Q1b2
因此：

Var(b1)=Var(br)+Q1Var(b2)Q1’-2Cov(br,b2)Q1’

Q1Var(b2)Q1’是半正定的，可以证明Cov(br,b2)=0

因此：Var(br)≤Var(b1)。

遗漏相关变量问题：有偏，方差变小，导致t检验值变大，
容易将本不该纳入模型的变量纳入模型。
2、多选无关变量问题(redundantvariables)

如果正确模型是受约束