一类具阶段结构的捕食者-食饵模型的周期解.pdf

第!"卷第#期西南师范大学学报（自然科学版）!$$%年&!月
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文章编号：&$$$@AB（&!$$%）$#$"#C$@

一类具阶段结构的捕食者食饵模型的周期解!

肖氏武&，!，王稳地&

&D西南师范大学数学与财经学院，重庆A$$B&@；!D襄樊学院数学系，湖北襄樊AA&$@%

摘要：研究了一类具阶段结构的捕食者食饵模型的渐近性质*文中假设由幼年阶段转化为成年阶段的转化率依赖
于幼年个体数量*建立了捕食种群一致持续生存与绝灭的条件*证明了稳定的周期解的存在性*
关键词：阶段结构；持续生存；绝灭；周期轨；稳定性
中图分类号：!"#$%"；&"’"文献标识码：(

"模型
众所周知，捕食者食饵模型是非常重要的种群模型!文献［&"@］中考虑的食饵种群多是受密度制约
的，当不存在捕食者时食饵的增长率（#$）具有E(F9739>形式或满足#（%$）&$!然而有些种群在数量很小时
无密度制约，当达到一定数量后受密度制约!这时（#$）可具有如下形式：
($当$$)
（）""$（）
#$’{（）当&
()$*+)$"$$#)$
其中，，为常数，为种群的内禀增长率
)$,$+,$-,$(!
本文考虑如下阶段结构模型：
G$
’（#$）"-$/
G.!

G/&（）（）
’0-$/!"!&/&"1/&/&!
G.
G/
!’1（/）/"/
G.&&!!!
这里（）同（），（），（），（）分别表示食饵、幼年捕食者、成年捕食者在时刻的数量，分别
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表示幼年捕食者与成年捕食者死亡率表示将食饵转化为幼年捕食者的转化系数（）表示幼年捕食
!0!1/&
者转化为成年捕食者的转化率，并假设它是幼年捕食者数量的函数!(为食饵的内禀增长率!以上所有参数
均为非负常数!
本文的目的是研究系统（!）的渐近性质!得到了系统（!）会出现渐近稳定的周期解!这说明阶段结构可
能是种群数量周期扰动的原因，从而使得种群模型的性态更加复杂!

)平衡点及其稳定性
在这一节，我们给出系统（!）的正平衡点存在及其渐近稳定的条件!

"收稿日期：!$$%$A&$
基金项目：国家自然科学基金资助项目（&$!B&$C#）*
作者简介：肖氏武（&CB&H），男，湖北天门人，讲师，硕士研究生，主要从事生物数学的研究*
通讯作者：王稳地，教授*
76#西南师范大学学报（自然科学版）第(7卷

我们作如下假设：
（）（），（）对所有［，）成立，且有（）
!"!#"#!#$"!#$""#$%&’!$"%#&
$$
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（）（）单调递增，即（（））
!(!$"$"!$"$"#"#&
首先，当［，）时得到：如果
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（（））
!(!#)!"
("（)）
#*+!（#）
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则系统（(）有唯一的正平衡点,(’，$，)，其中’(，$满足：
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!（$）$%（*）
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其次，当［，）时得到：当
’"(#$
（（））（（））
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/(/（+）
（.)-）*+!（#）#*+!（#）
成立时，系统（）有唯一的正平衡点$（$，$，$），$
(,’$"$(’%(#&
下面分别讨论正平衡点,与,$的稳定性&
-
系统（(）在正平衡点,(’，$，)的线性化系数矩阵0的特征方程为
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)(
")1"")1(")1)%#

+2!"$"
其中1%))2"#1%31%*+-2’"#
"!"!((!"!(-)
这里（（））（）（）通过计算，得
2%!$"$"#%!#$"$")!$"&

+2!"$"
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"()!"(!"!(!(-!"!(
由,-./01!.23&/4定理，可得下面的结论：
定理!"#若（!"），（!(）与（)）成立，则系统（(）有唯一的正平衡点,&如果条件
（）（(）（）
+2!"$"!")!()2)-/!-(!")!"!()!"23-25
满足，则正平衡点,是渐近稳定的&
系统（）在正平衡点$（$，$，$）的线性化系数矩阵$的特征方程为
(,’$"$(0
)(
")1"")1(")1)%#
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记

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