数学分析--2.doc

数学分析Ⅲ--2
题目一二三四五六七总分得分一、填空题（4分×7=28分）
1、函数的定义域为，它是点集。
2、。
3、函数，则f在点(1,1,1)沿方向的方向导数为。
4、方程所确定的隐函数的二阶导数=。
5、，其中为柱面被平面z=0，z=H所截取的部分。
6、交换积分顺序。
7、设平面曲线L为下半圆周，则曲线积分。
二、选择题（3分×4=12分）
1、考虑二元函数的下面4条性质
①f在点连续②f在点的两个偏导数连续
③f在点可微④f在点的两个偏导数存在
用“”表示可由性质P推出性质Q，则有（）
A.②③①B.③②①C.③④①D.③①④
2、方程的某邻域内（）
A.只能确定出隐函数B.只能确定出隐函数
C.即能确定出隐函数又能确定出隐函数
D.以上说法都不正确
3、，其中L为任一不经过原点的闭区域的边介线，则I等于（）
A.0B.C.0或D.1
4、设在第一卦限中的部分，则有（）
A.B.
C.D.
三、求解（7分×6=42分）
1、设，其中具有连续的二阶偏导数，求。
2、

3、求的原函数。
4、求由圆锥体和球体所确定的立体体积，其中和为常数。
5、，是单位球面的外侧。
6、，为单位圆的上半圆周从A(1,0)点至B(-1,0)点。
四、（6分）证明：上一致收敛。
五、设函数
讨论f在（0,0）点的重极限、连续性、偏导数和可微性。（12分）
班级：姓名学号：
参考答案
一、填空（4分×7=28分）
1、；无界开集（每空各2分）
2、0（4分）
3、(4分)
4、（4分）
5、（4分）
6、（4分）
7、（4分）
二、选择题（3分×4=12分）
1、A2、C3、C4、C
三、求解（7分×6=42分）
1、解：（3分）
（3分）
=（1分）
2、解：（2分）

由于函数上连续，故积分顺序可换。（1分）
（4分）
3、本题方法有多种
法一：设

从而积分与路径无关，必存在原函数
使（1分）

=（2分）
=
=（2分）
法二：原式=
=（3分）
=（2分）
=
故（2分）
4、解：做球坐标变换

则球面方程
锥面方程表示成（2分）
因此，
故（2分）
=（2分）
5、解：原式=3（2分）
（作球坐标替换）=（2分）
=（4分）
6、解：连结B、A得一闭合曲线AnBA

（2分）
（3分）
又（1分）
故（1分）
四、证明：对于
有（3分）
而收敛（2分）
由M判别法知上一致收敛。（1分）
五、证明：
当动点沿直线而趋于定点(0,0)时，，因而
这说明动点沿不同斜率k的直线趋于原点时，对应极限值不同，故重极限不存在（3分）
故上不连续。（2分）
又（2分）
同理（1分）
反设可微，应有及，而当取时（2分）
却有，这就与f在（0,0）可微矛盾，故f在（0,0）不可微。（2分）