数学分析 (2).docx

一、单项选择题（每小题2分，共20分）

1、下列广义积分中，发散的积分是（B）
ABCD
2、，是收敛的(B)
A充分条件B必要条件C充分必要条件D无关条件
3、和符合（D）条件，可由级数发散推出发散.
ABCD
4、若级数发散，则必有（A）
ABCD

5、函数在点连续是二重极限存在的（A）
A充分条件B必要条件C充分必要条件D无关条件
6、（C）
AB
CD
7、的和函数为（A）
ABCD
8、函数在可偏导，则函数在（D）
A必可微B必不可微
C必连续D不一定连续
9、下列命题正确的是（B）
A两个累次极限存在且相等，则二重极限必存在
B重极限与累次极限均存在，则它们必相等
C重极限存在，则累次极限一定存在
D重极限不存在，则累次极限也不存在
10、级数收敛和级数之间的关系是（B）
A同时收敛且级数的和相同；B同时收敛或同时发散，其和不同；
C后者比前者收敛性好些；D同时收敛但级数的和不同.

二、判断题（每小题2分，共10分）
1、设是数集E的聚点.则可能属于E也可能不属于E.(√)
2、设.则级数必发散.(√)
3、设在区间I上对有.若级数为收敛的正项级数,则级数在区间I上一致收敛.(√)
4、若函数列在区间I上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数f在I上也连续.(√)
5、设函数在点具有任意阶导数,且其Taylor级数在内收敛.则在内有
.(×)
三、计算题：（每小题8分，共40分）
1、设具有二阶连续偏导数，求，
解：令，则，
=，=（4分）
，（4分）
2、已知，求
解：=（4分）
。（4分）
3、求级数的收敛域及和函数，并求的和.
解：令=，（1分）
则=（4分）
当时，级数发散，所以级数的收敛域（1分），令，得。（2分）
4、计算，其中L为圆周：，取逆时针方向．
解：应用格林公式
原式，其中D：（4分）
原式（4分）
5、计算，其中S是球面的外侧．

解：应用高斯公式
原式
其中为球面所围空间区域（4分）
由球面坐标变换

原式（4分）
四、讨论与判断题：（每小题8分，共16分）
1、判断的一致收敛性
解：（4分），由weierstrass判别法原级数一致收敛性（4分）
2、讨论的收敛性
解：发散（2分），令，则当时，，从而在上单减，
故当时，数列单调减少（2分），又（2分），故为leibniz级数，所以它条件收敛（2分）。

五、证明题（每小题7分，共14分）
1、，证明：不存在
证明：（3分），（3分），所以不存在（1分）

2、设连续，存在，
其中，证明：
证明：用球坐标计算

（4分）
（3分）

《数学分析[2]》模拟试题
单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）
函数在上可积的必要条件是（）
A连续B有界C无间断点D有原函数
2、函数是奇函数，且在上可积，则（）
AB
CD
下列广义积分中，收敛的积分是（）
ABCD
4、级数收敛是部分和有界的（）
A必要条件B充分条件C充分必要条件D无关条件
5、下列说法正确的是（）
A和收敛，也收敛
B和发散，发散
C收敛和发散，发散
D收敛和发散，发散
6、在收敛于，且可导，则（）
AB可导
CD一致收敛，则必连续
7、下列命题正确的是（）
A在绝对收敛必一致收敛
B在一致收敛必绝对收敛
C若，则在必绝对收敛
D在条件收敛必收敛
8、的和函数为（）
ABCD
9、函数的定义域是（）
AB
CD
10、函数在可导与可微的关系（）
A可导必可微B可导必不可微
C可微必可导D可微不一定可导

二、计算题：（每小题6分，共30分）
1、，求
2、计算
3、计算的和函数，并求
4、设，求
5、计算
三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分）
讨论在点的可导性、连续性和可微性
讨论的敛散性
四、证明题：（每小题10分，共30分）
1、设，证明在上一致收敛
2、设，证明它满足方程
设在连续，证明，并求
1、B2、B3、A4、B5、C6、D7、D8、C9、B10、C
二1、（3分）令，（3分）
2、=（6分）
3、解：令=，由于级数的收敛域（2分），=，=（2分），令，得
4、解：两边对x求导,（3分）（3分）
5、解：（5分）（1分）
由于x=-2，x=2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）
三、1、解、，同理（4分），又但沿直线趋于（0，0），，所以不存在，也即函数在（0，0）点不连续，（4分），因而函数在（0，0）点也不可微（2分）
2、解：由于（3分），即级数绝对收敛条件收敛，级数发散（7分）
所以原级数发散（2分）
四、证明题（每小题10分，共20分）
1、证明：因为（2分），因为，（4分），，取，当时，，对一切成立，所以在上一致收敛（4分）
2、，，（7分）则（3分）
证明：令