误差和分析数据处理.docx

第五部分误差和分析数据处理
1数据的准确度和精度
在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。这说明在测定中有误差。为此我们必须了解误差产生的原因及其表示方法，尽可能将误差减到最小，以提高分析结果的准确度。
1.1真实值、平均值与中位数
（一）真实值
真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。故“真值”在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的“公认值”）。
（二）平均值
然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称为最佳值。一般我们称这一最佳值为平均值。常用的平均值有下列几种：
（1）算术平均值
这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。

式中：——各次观测值；n――观察的次数。
（2）均方根平均值

（3）加权平均值
设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。

式中；——各次观测值；
——各测量值的对应权重。各观测值的权数一般凭经验确定。
（4）几何平均值

（5）对数平均值

以上介绍的各种平均值，目的是要从一组测定值中找出最接近真值的那个值。平均值的选择主要决定于一组观测值的分布类型，在化工原理实验研究中，数据分布较多属于正态分布，故通常采用算术平均值。
（三）中位数（xM）
一组测量数据按大小顺序排列，中间一个数据即为中位数。当测定次数为偶数时，中位数为中间相邻的两个数据的平均值。它的优点是能简便地说明一组测量数据的结果，不受两端具有过大误差的数据的影响。缺点是不能充分利用数据。
1.2准确度与误差
准确度与误差是指测定值与真实值之间相符合程度。准确度的高低常以误差的大小来衡量。即：误差越小，准确度越高；误差越大，准确度越低。误差有两种表示方法：绝对误差和相对误差。
1、绝对误差（E）
某物理量在一系列测量中，某测量值与其真值之差称绝对误差。实际工作中常以最佳值代替真值，测量值与最佳值之差称残余误差，习惯上也称为绝对误差。
绝对误差（E）＝测定值（x）-真实值（T）
2、相对误差（RE）
为了比较不同测量值的精确度，以绝对误差与真值（或近似地与平均值）之比作为相对误差。

由于测定值可能大于真实值，也可能小于真实值，所以绝对误差和相对误差都有正、负之分。
绝对误差相同，相对误差可能相差很大。相对误差是指误差在真实值中所占的百分比率。相对误差不同说明它们的误差在真实值众所站的百分比率，用相对误差来衡量测定的准确度更具有实际意义。
但应注意有时为了说明一些仪器测量的准确度，用绝对误差更清楚。例如分析天平的称量误差是±0.0002g，常量滴定的读书误差是±0.01mL等。这些都是用绝对误差来说明的。
1.3精密度与偏差
精密度是指在相同条件下n次重复测定结果彼此相符合的程度。精密度的大小用偏差表示，偏差愈小说明精密度愈高。
（一）偏差
偏差有绝对偏差和相对偏差。
绝对偏差（d）=
相对偏差是指单次测定值与平均值的偏差。
相对偏差=
相对偏差是指绝对偏差在平均值中所占的百分率。
绝对偏差和相对偏差都有正负之分，单次测定的偏差之和等于零。
对多次测定数据的精密度常用算术平均偏差表示。
（二）算术平均偏差
算术平均偏差是指单次测定值与平均值的偏差（取绝对值）之和，除以测定次数。即
算数平均偏差（）
算术平均偏差和相对平均偏差不计正负。
例计算下面这一组测量值的平均值，算术平均偏差和相对平均偏差。
解：55.51，55.50，55.46，55.49，55.51
平均值==
算数平均偏差==
相对平均偏差=
（三）标准偏差
在数理统计中常用标准偏差来衡量精密度。
1、总体标准偏差
总体标准偏差是用来表达测定数据的分散程度，其数学表达式为：
总体标准偏差
2、样本标准偏差一般测定次数有限，µ值不知道，只能用样本标准偏差来表示精密度，其数学表达式为：
样本标准偏差
上式中（n-1）在统计学中成为自由度，意思是在n次测定中，只有（n-1）个独立可变的偏差，因为n个绝对偏差之和等于零，所以只要知道（n-1）个绝对偏差，就可以确定第n个的偏差。
3、相对标准偏差
标准偏差在平均值中所占的百分