理论力学概念整理-第2章.pdf

第2章力系的平衡

§2.1概念答疑

一、一般力系的平衡条件

∗
力系的平衡条件：FR=0，且MO=0

'
1.对任何物体系统，若外力满足FR=0，MO=0，则此物系一定是平衡的，

对吗？
答：不对。在一般情况下，物系虽不受外力作用，但内力作功，可改变物

系的运动状态，上述几何平衡条件仅对于单个刚体的平衡是充分的。
2.如图2.1所示，物体在A、B、C三点受力，力三角形自行封闭，则物体
处于平衡，对吗？

B
F1

AF
2
F
3
C

图2.1

'
答：不对。该力系虽主矢FR=0，但主矩MA≠0，物体显然不平衡。物体

∗
受共点力系时，FR=0才是平衡的充要条件。

3.立方体受力如图2.2(a)，有人认为，只要在A点加上力F(虚线所示)，便

可使立方体平衡，对吗？
'
'CC
CC
F
D'D'
DD

F

F
B
'FB
FAFF
AFA
FFF
F
（a）(b)
图2.2

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∗
答：不对。在A点加上F力后，新力系的主矢FR=0，但主矩MB≠0，立

方体不能平衡。只有沿C'C方向加力F，图(b)所示，立方体才能平衡。
4.若平面汇交力系对任意两点A、B之矩为零，则此力系一定是平衡的，对
吗？
答：不对。当A、B两矩心与汇交点共线，且力系对于AB轴对称时，如图

2.3所示汇交力系中，虽有ΣMA=0，ΣMB=0，但该力系并不平衡。

5.平面一般力系，满足ΣMA=0，ΣMB=0，ΣFx=0，则一定平衡，对吗？

答：不对。应补充AB不垂直x轴的条件，否则条件不充分。如图2.3所示
情形，力系虽满足上述三个方程，但并不平衡。

F
TB
z

FFB
FTA
F1θθ1F
TC

AOO'
C
Bx
A
PQy
x

图2.3图2.4

6.空间一般力系对任意六根轴之矩等于零，则该力系一定平衡，对吗？
答：不对。此条件不充分，例如当六根轴分别相交于两点，而力F又通过
该两个交点时，虽满足力系对六轴之矩分别为零，但显然不平衡；又如，当有

3根以上的轴交于一点时，设某力系汇交于该点，则有多于3个的力矩平衡方
程自动满足，这样独立平衡方程便少于3个，不能保证力系平衡。
7.均质等边三角板水平悬挂，受力如图2.4，求三绳张力时，有人用如下三
个平衡方程求解，对吗？

Σ=FFFFPQ++−−=0
zTTTABC

Σ=⋅+⋅−⋅−⋅=MPAOQAO'0FABFAC
OTTBC

Σ=⋅+⋅−⋅−⋅=MPBOQBO'0FABFBC
BTTAC

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答：不对。力对点之矩是矢量，此处各力对A点之矩的方向并不相同。这
里误作了代数量处理，所得结果必错。
平衡方程的独立性
8.有人说，对于图2.5所示刚架，AC、BC各有三个独立平衡方程，而对整

体又可列出三个平衡方程，则共有九个独立平衡方程，对吗？

F1C
F
F12
F
F
FAyBy

F
ABAxFBx

图2.6
图2.5

答：不对。如果使用了两平面力系刚体的共6个平衡方程，则整体平衡方
程可由之导出，它们与上述6个方程互不独立；如果使用整体及其中一刚体的
共6个平衡方程，则另一刚体的三个平衡方程也可由之导出。故该系统的独立
平衡方程只有6个。

9.图2.6所示两铰拱，A、B支座处，4个未知约束力，可由ΣFx=0,ΣFy=0,

ΣMA=0,ΣMB=0,共4个平衡方程联立解出，对吗？

答：不对。平面一般力系，只有三个独立平衡方程，第四个方程一定是前
三个的某种线性组合，是不独立的。该结构为静不定，四个未知量不可由平衡

方程全部求出。
10、某力系中，各力的作用线平行于某一定平面，则独立平衡方程个数是
3，对吗？

答：不对。平行于某平面的力线不一定共面，如图2.7所示，只有，ΣFz≡0,

故该力系独立平衡方程还有5个。

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z
F1

a
FnzF1
F2
Fi

O
y

x

图2.7图2.8
11.如图2.8所示力系中，各力的作用线均与定直线a相交，该力系在Oxyz
坐标系中的独立平衡方程还有6个，对吗？
答：不对。因为该力系对以α为一轴的正交坐标系，只有5个独立平衡方
程，且可证明这组方程与该力系对Oxyz系的平衡方程完全等价，故在Oxyz系中
该力系独立平衡方程也只有5个。
12.空间平衡力系向三个相互垂直的坐标平面投影，得到三个平面任意力
系，这样，该力系独立平衡方程数为3×3＝9个，对吗？
答：不对。因为其中一个平面上的三个投影方程，完全可由其它两组方程

导出，故独立平衡方程数只有6个。
13.均质杆AB、AC，铅垂架在粗糙水平面上，并处于临界平衡，如图2.9
所示。研究整体，其受力为平面一般力系，则可解出3个未知量，对吗？

答：不对。只能解两个未知量，因为ΣFx≡0