注意逆向思维的应用.doc

注意逆向思维的应用
嘉祥新一中鲁玉军
思维就是人的理性认识的过程，根据思维过程的指向性，可将思维分为：常规思维（正向思维）和逆向思维，中学数学课本中的逆向思维，中学数学课本中的逆运算、否命题、反证法、分析法、充要条件等都涉及到思维的逆向性，在数学解题中，通常是从已知到结论的思维方式，然而有些数学总是按照这种思维方式则比较困难，而且常常伴随有较大的运算量，有时甚至无法解决，在这种情况下，只要我们多注意定理、公式、规律性例题的逆用，正难则反，往往可以使问题简化，经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维的敏捷性。
在数学解题中“定义法”是一种比较常见的方法，但定义的逆用容易被人们忽视，只要我们重视定义的逆用，进行逆向思维，就能使有些问题解答简捷。
如图已知在一个周期内的图象，求其解析式。
分析：由已知易得周期T=π，ω=2，此题的难点是定φ，而且极易出错，只要我们逆用“五点法”的定义，则问题极易解决，其中点为“五点法”中的第三点，其相为π。即：，所以，最后定A=，所以。
分析法的实质是“执果索因”，要证明结论成立，只需找使结论成立的充分条件即可。这种方法在证明题中用得较多，这也是逆向思维在数学解题中的具体运用。
设f(x)=tanx，，当时，且x1≠x2，证明：
分析：要证明原不等式成立，即证
只需证
即证

即
（）
即cos(x1-x2)<1由已知易得：cos(x1-x2)<1成立，故原不等式成立。
已知正数a、b、c成等差数列，求证：a2-bc，b2-ac，c2-ab也成等差数列。
分析：要证原结论成立，只需证
2（b2-ac）=a2-bc+c2-ab
即2b2+(a+c)b=(a+c)2
而2b=a+c所以上式成立，所以原结论成立。
反证法就是把假设结论的反面成立，由此导出与题设、定义、公理相矛盾的结论，从而推翻假设，肯定结论的证明方法，这种应用逆向思维的方法，可使很多问题处理起来相当简捷。
有f(x)=x2+ax+b求证：|f(1)|、|f(2)、|f(3)|中至少有一个不小于。
分析：此题直接证比较困难，但只要用反证法则较为简便。
设、、
所以+2++1+=2（1）
但+2+≥－2+
=|（1+a+b）－2（4+2a+b）+（9+3a+b）|=2（2）
与（2）矛盾，所以假设不成立，故原结论成立。
如图，已知a、b为异面直线，A、B∈a，C、D∈b，求证：AC和BC是异面直线。
分析：如果按异面直线的定义直接证明比较困难，但如果从反面证明则比较简单，如果AB与CD共面，则得出a、b共面，与a、b是异面直线矛盾，因此，AB、CD为异面直线。
在有些数学问题中，正面复杂，反面简单，只要逆向分析，进行排除，就能使问题得到简捷的解答，同时这也是解有些选择题的有效捷径解法。
例若二次函数在区间[-1，1]内至少有一个点C，使f（C）>0，求实数p的取值范围。
分析：此题从反面分析，采取补集法则比较简单。
如果在[-1，1]内没有点满足f（C）>0
则
取补集为，即为满足条件的p的取值范围。
综上所述：在数学解题中，根据问题的特点，在应用常规数学思维的同时，注意逆向思维的应用，往往能使很多问题运算简化，对培养学生的数学思维，特别是培养学生思维的敏捷性，提高学生的数学能力具有重要作用。