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逆向思维数学应用1、谈“逆向思维〞在数学教学中的运用和培育共享到0谈“逆向思维〞在数学教学中的运用和培育俄罗斯知名教育家加里宁说“数学是思维的体操〞。正如体操熬炼可以转变人的体质一样，通过数学思维的恰当训练，逐步把握数学思维方法与规律，是可以转变人的智力和力气，也可以培育同学的创新精神和创新意识。在数学教学中应用多种思维方法教学是培育同学力气的重要途径之一，思维是智力的核心。观看、分析、想象、推理、推断都与思维亲热联系在一起。培育同学的思维力气是数学教学中落实素养教育的关键，也是数学科素养教育的核心。近几年来，局部省市中考数学试卷时有毁灭一类需用逆向思维来求解的题目，下面就逆向思维在数学解题中的应用和如何培育同学的逆向思维，谈几点看法一、“逆向思维〞在解题中的作用问题的引入甲、乙、丙、丁四个数的2、和为43，甲数的2倍加8，乙数的3倍，丙数的4倍，丁数的5倍减4，结果相等，问甲、乙、丙、丁各是多少此题假设从正面分析，正面列式完全是可以解出来的，但要假设4个未知数，列4个方程，解起来会比较麻烦，而运用“逆向思维〞却“轻而易举〞。可以设这四个运算结果相等的数为X，这样就可以比较快地求出甲、乙、丙、丁这四个数分别是14、12、9、8。这样一种思维方式就是逆向思维。它的特点是不盲从别人的观点而擅长提出新思路、新方法的一种制造性思维，它是从反面考虑问题的一种方式，通常要打破习惯性的思维方法，有意做出与习惯思维方向〔正向思维〕完全相反的探究，顺推不行时考虑逆推；直接解决麻烦或冗杂时考虑间接；探讨可能性发生困难时，要考虑不行能性；应用公式法那么不凑效时，反过来用因此当反复思考某个问题却“3、山穷水尽〞时，逆向思维经常会毁灭“柳暗花明〞的境地，还会到达事半功倍的好效果。也就是说，对于某些问题，有时逆向思维优于正向思维。例如－，－，－，－的大小，按惯例是先通分母再比较大小，但此题分母较大，通分母比较麻烦，于是有人另僻蹊径，不通分分母而先通分分子，再比较大小，于是原题就变为比较的大小，这样不但节省了时间，而且还培育逆向思维的习惯，从而提高了智力。此外，逆向思维在某些问题还会对正向思维起到推动和促进作用。例XYZ1求证X、Y、Z中至少有一个等于1。分析此题结论反面状况是X、Y、Z都不等于1即X－1Y－1Z－1≠0将左边开放后再与条件比较，觉察冲突。即得原题的结论。证明设X、Y、Z都不等于1那么X－1≠0Y－1≠0Z－1≠0∴X－1Y－1Z－1≠0即XYZ－XYYZXZ4、XYZ－1≠01又∵XYZ1XYZXYYZZX2∴XYZ－XYYZXZXYZ－1＝031、3式发生冲突∴原结论成立。完成这个证明过程后，我们又可以从中得到启发，启发我们假设从条件动身，用正向思维完全可以推得X－1Y－1Z－1＝0，即得X、Y、Z至少有一个等于1。证明由条件得XYZ－1＝01XYZ－XYYZXZ＝021＋2得∴XYZ－XYYZXZXYZ－1＝0分解因式得X－1Y－1Z－1＝0∴X－1＝0或Y－10或Z－10即X、Y、Z中至少有一个等于1。二、“逆向思维〞在解题中的应用1、“逆向思维〞在解方程有关问题中的应用例1关于X的二次方程AX2＋2BX＋C＝0BX2＋2CX＋A＝0CX2＋2AX＋B＝0中，至少有一个方程有不同的实数根，试求出A、B、C应满足的条件。分析这5、题假设从正面出击，因状况冗杂难以下手，但是假设从“三个二次方程至少有一个不同的实数根〞的反面，即从“三个二次方程都没有不同的实数根〞去考虑，那么比较简洁得到它的结果。解设这三个二次方程都没有不同的实数根三式相加，除以4得A2＋B2＋C2＋AB－BC－CA≤0整理得〔〔A－B〕2＋〔B－C〕2＋〔C－A〕2〕≤0但〔A－B〕2≥0〔B－C〕2≥0〔C－A〕2≥0∴A＝B＝C又A≠0B≠0C≠0故求得原题应满足的条件为A，B，C为不全相等的非零实数。例2假设解关于X的分式方程时不会产生增根，求K的取值范围。分析考虑到不会产生增根的反面是产生增根，从全体实数中除去产生增根时K的值即为原题的解。解去分母得X2K－K2X2－5X－2假设方程产生增根，那么X2X－2＝0此时X1－2X2＝2①当X6、－2时，K无实数解②X＝2时，解得K1－1K2＝2∴当K≠－1且K≠2时，原方程不会产生增根。2、“逆向思维〞在解决有关函数问题中的应用例假设二次函数Y＝MX2＋M－3X＋1的图像与X轴的两个交点至少有一个在原点的右侧，求M的取值范围。解从正面考虑，状况比较冗杂，设两个交点都不在原点的右侧，那么Y＝0时，方程有两个根都小于或等于0，于是有由此解得M≥9其反面是M＜9，又由于二次函数图像与X轴有交点，所以还必需有△≥0，且M≠0，即∴M的取值范围是M≤1且M≠03、“逆向思维〞在几何证题中的应用例设O是△ABC内一点，AO