经典谐振子与量子谐振子.pdf

2006年8月湖北教育学院学报Aug.2006
第23卷第8期JournalofHubeiInstituteofEducationVo.l23No.8

经典谐振子与量子谐振子

刘明

(湖北教育学院物理与电子工程系,武汉430205)

摘要:线性谐振子问题在经典力学中和量子力学中都是一个倍受关注的问题,它的重要性在于自然界中广泛碰到简
谐运动,许多体系都可以近似地看作线性谐振子。本文从经典和量子两个角度对谐振子问题进行了研究和比较,并
用测不准关系探讨了零点能问题。
关键词:谐振子;零点能;测不准关系;波粒二象性
中图分类号:04131.1文献标识码:A文章编号:1007-1687(2006)08-0006-03
作者简介:刘明(1962-),女,教授,研究方向为量子物理、高能多重产生唯象学。

线性谐振子问题在经典力学中和量子力学中都是一个倍动能Ee和势能Ep的表达式为
受关注的问题。它的重要性在于自然界中广泛碰到简谐运222
dxwx0
E==cos2(wt+)(9)
动,许多体系都可以近似地看作线性谐振子。e2dt20

本文将从经典和量子两个角度来研究谐振子,探讨经典12222
Ep=kx=wx0/2sin(wt+0)(10)
谐振子与量子谐振子的区别与联系以及由此引发的对其量子2
特性的一些思考。显然总能量在运动中是不变的
w2x21
E=E+E=0=kx2
1经典力学中的谐振子ep220
且由(9)(10)式知:当wt+=0时,势能有最小值0,而
在经典力学中,谐振子问题可用下面的方式来表述[1]。一0
1
动能在此时有最大值w2x2。
质量为M的质点沿OX轴运动,它所受到的回复力F(x)可从20

力函数的微商得到。力函数2122
V(x)而当wt+=时,势能有最大值wx,而此时动能
!20
值最小为0。

进一步,对于经典振子:x=x0sin(wt+0)

[2]dx
1经典振子的速度V为:V==x0wcos(wt+0)
V=kx2(1)dt
(x)2
x
利用cos∀=1-sin2∀,注意:sin(wt+)=
力的表示式为:0x
F(x)0
2
=-dv/dx=-kx(kooke定律)(2)V=x0w1-sin(wt+0)
F(x)i
x
i是沿ox轴的单位矢量。运动方程可写成=xw1-(11)
0x
d2x0
=-kx(3)
2其中为振幅平衡点为原点。当时由式知
dtx0,x=0,(11)
此时经典振子的速度有最大值即经典振子在
kVV=x0w,x=0
令w2=(4)
处逗留时间最短,出现的几率最小。
d2x
(3)式变为:+w2x=0(5)
dt22量子力学中的谐振子
方程(5)的解具有下列形式:x=xsin(wt+)(6)
00在量子力学中,取谐振子的平衡位置为坐标原点,并选原
它表示一个正弦运动其振幅为相位为角频率为[3]
,x0,0点为势能的零点,则一维谐振子的势能可表为:

w1k12
w0相应的频率是:==(7)V=kx
2!2!(x)2

只与原点的质量和回复力常数k有关,而振幅x0和相K是反映谐振作用强度的参数,谐振子受力F=-dv/dx

位0都与运动初始条件有关。
收稿日期
振子的总能量E是:E=Ee+Ep(8):2006-04-10
刘明:经典谐振子与量子谐振子7

=-kx,设振子质量为,令:一讨论与比较:
k13.1关于能级
W=则V(x)=w2x2
u23.1.1能量取值特点。由(9)(10)式知经典谐振子的能量取值
一维谐振子的能量本征方程为:是连续的,而由(17)式知量子谐振子的能量取值是分立的,即
22
d122量子化的,其中n为量子数。且能级是等间距的,间距为w。能
-2+wx#(x)=E#(x)(12)
2dx2量取分立值是微观粒子具有波粒二象性这一量子特征的重要
为方便起见引入没有量纲的变量∃代替x,它们的关系是:体现。
ww
∃x∀x,∀=;由于能级间隔是等距离的,能级间的跃迁只发生在相邻

能级之间,即跃迁只能逐级进行,因此各跃迁都发生频率相同
2E
并令:%=(13)的辐射。实验测得的能谱只有一条谱线。
w
23.1.2零点能讨论。由(9)式知当cos(w+0)=0时经典谐振
d#(x)2
则(12)式化简为:2+(%-&)#(x)=0(14)子的最低动能为零而由式知量子谐振子在基态能量不
d∃,(17),
1
这是一个变系数二阶常微分方程。∃(或x)有限的点是微为零。即当n=0时,E=w,称为零点能。这与经典谐振子
02
分方程的常点,而∃=!为方程的正则奇点。考虑方程的解
完全不同,再次说明微观粒子具有波