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初高中衔接班数学讲义
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第1课时数与式(一)
一、绝对值|a|＝eq\b\lc\{(\a\al(a，a＞0，,0，a＝0，,－a，a＜0．))
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
x
0
O
a
A
图1－1(1)
|a|

x
0
O
a
A
图1－1(2)
|a|

绝对值的性质：两个互为相反数的绝对值相等．即|a|＝|－a|．

两个数的差的绝对值的几何意义：|a－b|表示在数轴上，数a和数b之间的距离．
B
x
a
A
|a－b|
图1－2(1)
b

A
x
b
B
|a－b|
图1－2(2)
a

例1解方程：（1）|x－1|＝2．（2）|x－1|＋|x－3|＝4．

练习
1．填空：
(1)若|x|＝5，则x＝_________；若|x|＝|－4|，则x＝_________．
(2)如果|a|＋|b|＝5，且a＝－1，则b＝________；若|1－c|＝2，则c＝________．
3．化简：|x－5|－|2x－13|(x＞5)．

4．解方程：
(1)|x－2|＝1；(2)|x＋2|＋|x－1|＝4；(3)|x－2|＋|2x＋3|＝6．

二、乘法公式
(1)立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；
(2)立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；
(3)三数和平方公式(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca；
(4)两数和立方公式(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；
(5)两数差立方公式(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3．
例1化简：(x－1)(x+1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)．

例2若x＋eq\f(1,x)＝3，求x2＋eq\f(1,x2)和x－eq\f(1,x)的值．

例3已知a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ca＝4，求a2＋b2＋c2的值．

练习
1．(1)eq\f(1,9)a2－eq\f(1,4)b2＝(eq\f(1,2)b＋eq\f(1,3)a)()；(2)(4m＋)2＝16m2＋4m＋()；
(3)(a＋2b－c)2＝a2＋4b2＋c2＋()．
2．(1)若x2＋eq\f(1,2)mx＋k是一个完全平方式，则k等于()
(A)m2(B)eq\f(1,4)m2(C)eq\f(1,3)m2(D)eq\f(1,16)m2
(2)不论a，b为何实数，a2＋b2－2a－4b＋8的值()
(A)总是正数(B)总是负数
(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数
三、二次根式
1．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
2．二次根式eq\r(a2)的意义eq\r(a2)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\al(a，a＞0，,0，a＝0，,－a，a＜0．))也可以写成eq\r(a2)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\al(a，a≥0，,－a，a＜0．))
例1将下列式子化为最简二次根式：(1)eq\r(12b)；(2)eq\r(a2b)(a≥0)；(3)eq\r(4x6y)(x＜0)．

例2计算：eq\r(3)÷(3－eq\r(3))．

例3试比较下列各组数的大小：(1)eq\r(12)－eq\r(11)和eq\r(11)－eq\r(10)；(2)eq\f(2,\r(6)＋4)和2eq\r(2)－eq\r(6)．

例4化简：(1)eq\r(9－4\r(5))；(2)eq\r(x2＋\f(1,x2)－2)(0＜x＜1)．

练习
1．(1)eq\f(1－eq\r(3),1＋eq\r(3))＝________________；
(2)若eq\r((5－x)(x－3)2)＝(x－3)eq\r(5－x)，则x的取值范围是_______；
(3)4eq\r(24)－6eq\r(54)＋3eq\r(96)－2eq\r(150)＝______________；
(4)若x＝eq\f(eq\r(5),2)，则eq\f(eq\r(x＋1)－eq\r(x－1),eq\r(x＋1)＋eq\r(x－1))＋eq\f(eq\r(x＋1)＋eq\r(x－1),eq\r(x＋1)－eq\r(x－1)