2012年海文重点题型班讲义铁军(视频班).doc

2012年北京万学海文考研数学真题难题及重点题型班考研辅导讲义

主讲铁军教授

铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在北京、南京、天津、沈阳、武汉、广州、上海、厦门等各大城市声名鹊起，成为与王式安、李永乐齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。特别是铁军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴！
2009年，考研竞争空前激烈！我们邀请铁军老师亲临海文面授，
为您考研成功指点迷津，保驾护航。大师风范，品质感人！
2009年，我们将与您携手并肩，您的理想将在您我的共同努力
下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！因为我们的自信，让您
更加自信！

八大题型二十八难题讲解

【题型一、函数的各种性态】
【例1】（2004数3、4）函数在下列哪个区间内有界.
(A)(1,0). (B)(0,1). (C)(1,2). (D)(2,3).[A]
【详解】当x0,1,2时，f(x)连续，而，，
，，，
所以，函数f(x)在(1,0)内有界，故选(A).
【评注】（1）（函数有界性的定义）设函数在数集X上有定义，若存在正数M，使得对于每一个，都有成立，称在X上有界，否则，即这样的M不存在，称在X上无界。
（2）（有界性定理）闭区间[a,b]上的连续函数必在[a,b]上有界。
（3）若函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且极限与存在，则函数f(x)在开区间(a,b)内有界.
【证明】补充函数f(x)在区间端点处的定义如下：令，
，则f(x)在区间左端点处右连续，在区间右端点处左连续，又由已知f(x)在开区间(a,b)内连续，所以，函数f(x)在闭区间[a,b]上连续。
由闭区间上连续函数的有界性定理知，必在[a,b]上有界，故存在正数M，使得对于每一个，都有成立，从而对上述的正数M，当时，都有成立，即函数f(x)在开区间(a,b)内有界.
（4）若函数f(x)在开区间内连续，且极限与存在，则函数f(x)
在开区间内有界.
（5）若函数f(x)在开区间内连续，且极限与存在，则函数f(x)
在开区间(a,b)内有界.

【例2】函数在下列（）区间内有界。
（A）（B）（C）（D）
【详解】当时，连续，
而，，，，。所以，函数在内有界，故选（A）。
【例3】设，判断在是否有界，并说明理由。
【详解】
注意到，因此
于是，时，，又时，，
所以，

，这说明在上是有界的。

，这说明在上是有界的。又
有定义，从而，在有界。
【题型二、函数的导数与极限】

【例4】（2004数2）已知函数，且满足
求
【详解】根据型极限计算公式。

由题设等式可得

由
【评注】由于无连续条件，在求极限中如果使用洛必达法则，将无法得到结果。
【例5】求函数极限：，其中在二阶可导且．
【详解】显然，，这是型极限．
解法一：用泰勒公式在有二阶泰勒公式
，，代入得

解法二：先用等价无穷小因子替换后再用洛必达法则．注意，，
利用等价无穷小因子替换得

解法三：直接用洛必达法则

=
【题型三、中值定理的相关证明题】

【例6】（2005数1、2）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.
证明：（=1\*ROMANI）存在使得；
（=2\*ROMANII）存在两个不同的点，使得
【详解】（=1\*ROMANI）令，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在使得，即.
（=2\*ROMANII）在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，
于是
【评注】（1）中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式.
（2）反复多次综合应用中值定理证明问题，特别是拉格朗日中值定理和柯西
中值定理相结合的题型非常重要。
（3）证明在内存在，满足某种关系式的命题的程序：
①在欲证的等式中，将和分离开来，即把包含的函数和包含的函数分别放在等式的两端.
②选择等式的一端应用一次中值定理或介值定理得到，再对等式的另一端应用一次中值定理或介值定理得到.
（4）证明在内存在，且满足某种关系式的命题：
关键是通过零点定理、介值定理或其他条件，找出符合题意的分界点，将区间分成两个不相交的部分区间.
在和上分别应用中值定理进行证明即可.
【例7】若在上连续，在内可导，，且.证明：（1）至少存在一点，使.
（2）在内必存在